二阶变系数线性常微分方程的约化①

2013-02-02窦彩玲

佳木斯大学学报(自然科学版) 2013年3期

窦彩玲

(安徽师范大学数学计算机科学学院，安徽芜湖241000)

0 引言

本文考虑二阶变系数线性常微分方程

的约化和求解，其中f(x)，g(x)为充分光滑函数.

在文献［1，2］中，作者考虑常系数线性常微分方程

形如y = z(x)eλp(x)的解，并将方程(2)约化为关于λ 的一元二次代数方程

这里以及下文中A，B 为任意常数，λ 为满足(3)的待定常数.代数方程(3)又称为方程(2)的特征方程.在求解欧拉方程

的解时，利用变量代换x = et将方程转化为形如(1)的常系数线性常微分方程，从而得到方程(4)形如y = xλ形式的解.事实上，考虑方程(4)形如y= xλ的解，也可以将方程(4)约化为关于λ 的一元二次代数方程. 在文献［3］中，Ibragimovk 通过对称群方法，指出方程

也可以约化为关于λ 的一元二次代数方程(3)，并且有形如

的解.在文献［4 ～8］中，人们利用待定常数法或者变量代换法，将一些变系数线性常微分方程约化为代数方程.

在本文中，利用待定常数法，我们考虑具有形如

的解的二阶变系数线性常微分方程(1)，并将方程(1)转化为形如(3)的代数方程. 事实上，当z(x)= 1，p(x)= x 时，(7)就是形如y = eλx的解;当z(x)= 1 且p(x)= ln x 时，(7)就是形如y = xλ的解;当时，(7)就是形如(6)的解;当z(x)= 1 时，(7)就是文献［5，6］中考虑的解;因此，解(7)具有一般形式. 在下文中考虑p(x)≠1 的情形.