徐 兰，苏贵福

（1.新疆昌吉学院 数学系，新疆 昌吉 831100；2.北京理工大学 理学院，北京 100081）

对群G的任意一个不变子群N[1]，都可极其自然地得到一个新的群——商群G/N.由此，我们都不会怀疑群与商群具有密切的联系.我们就是要揭示这个内在联系——群的同态基本定理[2].该定理确立了不变子群与商群在群的理论中的重要地位.两个群之间的关系只有同态关系，于是我们有（i）G到有单同态意味着在同构的意义下φ(G)就是的一个子群；（ⅱ）G到有满同态，则意味着就是G的商群（在同构下）；（ⅲ）G到有非单非满同态，则在同构意义下意味着G的一个商群与的一个子群一样.为此需要弄清：

（1）每一个同态核[4]都是不变子群（这与同态是否为单、满无关）

（2）利用自然同态得到：每个同态象都是商群（如何理解？）

（3）子群（不变子群）的同态象和同态完全原象[5]之间的联系.

1 群同态及同态核[6]

2 群的同态基本定理

定理1 设G为群，N是G的任意一个不变子群，那么必有群同态满射φ:G→G/N，其中：φ(x)=xN.

即 φ:G→G/N是一个群同态满射，即G~G/N，或者说，G/N是G的同态象，或者说，G与G/N同态.

由定义1知，自然同态G~φG/N必有同态核，易知，自然同态φ 的同态核恰是N.

定理1表明，群G的每个商群都为G的同态象.而且能够以N为核将这个同态关系表现出来.于是由同态象的意义（传递性）知：G的每个商群G/N都会在某些方面有些像G，进而，可由商群G/N的某些性质去推测群G的一些性质.一般来说，商群要比G简单些，（因为G/N是G的元素以N为模归类做成的陪集而形成的群），所以为我们研究G带来方便.

除了……