苏丽娟

（安徽大学 数学科学学院，安徽 合肥 230601）

1 简单迭代法

迭代法是一种常用的数值计算方法，是从某一给定初始值p0出发，重复（有限次）进行某种计算过程（处理、操作），从而不断接近精确值，实现所求结果.在此过程中会产生一个迭代序列，其序列极限就是待求的精确值.

所谓的简单迭代法，又称定点迭代法、不动点迭代法或者Picard迭代法，它是一种特殊的迭代法，其迭代公式必须满足：pn+1=g(pn)，其中g(x)称为简单迭代函数.

鉴于简单迭代公式pn+1=g(pn)中，只包含两个相邻的迭代项pn和pn+1，且后一项pn+1可由前一项pn显示表达出来，因此在计算中简单迭代法非常便于实现，具有很好的可操作性.简单迭代法在实际使用中，最关键的事情就是确定简单迭代函数g(x).下面将探讨简单迭代法在数值分析中的一些重要应用[1,2].

2 在计算函数不动点中的应用

给定一个函数φ(x)，若存在p∈R，满足p=φ(p)，则称x=p为函数φ(x)的一个不动点（或者定点）.

关于上述不动点x=p的近似值，就可以用简单迭代法来计算，只需取简单迭代函数g(x)=φ(x)即可.

此时，计算不动点的简单迭代公式为：

3 在求解非线性方程中的应用

关于非线性方程f(x)=0，设x=p为方程的根，即f(p)=0.

当函数f(x)一阶连续可导时，可以用函数f(x)在近似根x=pn处的一阶泰勒展开式f(pn)+f'(pn)(x-pn)近似代替f(x),将原方程f(x)=0近似地化为一次方程f(pn)+f'(pn)(x-pn)=0.用此方程的根作为原方程的近似根,记新的近似根为x=pn+1,则得到求解非线性方程f(x)=0的简单迭代公式：

上述简单迭代法也称Newton迭代法.当x=p为方程f(x)=0的单根时，此迭代法是二阶收敛的，即平方收敛；……