任芳国，高 莹

（陕西师范大学数学与信息科学学院，陕西，西安 710062）

随机矩阵的范数

任芳国，高 莹

（陕西师范大学数学与信息科学学院，陕西，西安 710062）

利用随机矩阵的特性及不等式的性质，讨论了n阶随机矩阵的范数，获得了随机矩阵1－范数，2－范数，∞－范数及p－范数的不等式，且给出了1－范数，2－范数及p－范数达到界值的充分必要条件，为随机矩阵的应用奠定了数学基础.

随机矩阵；双随机矩阵；1－范数；2－范数；p－范数

非负矩阵在矩阵论中占据重要的地位，随机矩阵作为特殊的非负矩阵有着广泛的应用，如markor链、多元统计理论的研究以及经济学（如对股票市场的分析）、运筹学等领域数学模型的研究［1－5］.本文将从范数的角度去刻画随机矩阵，得到了随机矩阵范数不等式，并获得取得界值的充分必要条件，对进一步研究随机矩阵张量积的范数有一定的作用［6］.

1 预备知识

文中使用以下记号：

用Cn，Mn（C）分别表示复数域上所有n维向量及所有n阶矩阵组成的线性空间；

设A∈M n（C），用ρ（A）表示矩阵谱半径；

AT，A＊分别表示矩阵A的转置及共轭转置；

A≥0表示非负矩阵；

若A－B≥0，记为A≥B.其余未加说明的术语及记号均同文献［1］.

为了叙述及证明主要定理方便起见，引入以下定义及引理.

定义1.1［1－3］称一个n阶非负矩阵A为随机矩阵，如果A的所有行和为1.

定义1.2［1－3］称一个n阶非负矩阵A为双随机矩阵，如果A的所有行和与列和都为1.

2 主要结果及证明

［1］HORN R A，JOHNSON C R.Matrix analysis［M］.Cambridge：Cambridge University Press，1986：487－529.

［2］HENRY MINC.Nonnegative matrices［M］.New York：Wiley－Interscience Publication，1988：1－47，105－140.

［3］BERMAN A，PLEMMONS R.Nonnegative matrices in the mathematical sciences［M］.New York：Academic Press，1994：26－59，211－268.

［4］HORN R A，JOHNSON C R.Topic in matrix analysis［M］.Cambridge：Cambridge University Press，1991：134－231.

［5］石月岩，宓颖，李树有.正态随机矩阵的MTP2性质［J］.东北师大学报：自然科学版，2011，43（1）：25－29.

［6］宋彩芹，陈果良.三矩阵左半……