赵临龙

（安康学院数学与应用数学研究所，陕西安康 725000）

2003年北京市高考数学试题中出现蝴蝶定理变形题.

命题1 如图1.椭圆的长轴A1A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心为M(0，r) (b>r>0)，直线y=k1x和y=k2x交椭圆分别于C(x1，y1)、D(x2，y2)和G(x3，y3)、H(x4，y4)，（其中y2＞0，y4＞0）.CH、DG分别交x轴于点P、Q.求证：|OP|=|OQ|(不考虑CH、GD垂直于x轴的情形).

图1

图2

由于命题1为著名的蝴蝶定理的变形题，所以才引起了人们的极大关注和研究热情[1-8].因此，从另一个侧面也暴露出了研究的一些不良倾向，这也是当前我国初数研究中存在的不良倾向.

1 初数研究重外轻内

历史上，由于西方国家更重视理性思辨，从而导致了《欧氏几何》这部伟大著作的产生，它将平面几何研究作为人们消遣欣赏的游戏，而在中国，由于人们更重视研究的实用性，从而远离了几何游戏，但却产生了具有影响的《九章算术》这样的解题术.这就是说，平面几何研究的成果，大都出自外国人.时至今日，要想在古老的初数研究中作出惊人的成绩，对中国人来说更是不易.因此，我们有必要对国人的研究成果加以弘扬，以增强我们的自信心，而不是只介绍国外成果.文[6]在介绍蝴蝶定理证法和定理的拓广时，涉及国人的研究成果非常之少，仅在定理变形中，提到1990年的中国数学奥林匹克选拔题.

命题2（筝形蝴蝶定理） 如图2.在筝形ABCD中，AB=AD，BC=DC，过AC，BD的交点O引直线EF、GH分别交AB、CD于E、F及交DA、BC于G、H.EH、GF分别交BD于P、Q，则OP=OQ.

实际上，国人在蝴蝶定理的研究中，同样取得了令人骄傲的成绩.1993年，刘海蔚、陈举、邓御寇[9]在其《高等几何》教材中，用射影几何方法给出蝴蝶定理的证明.

如图3.过圆O弦AB中点M引两弦CD、EF，CF、DE分别交AB于P、Q.

现设CF与DE及CE与DF分别交于I，J，则IJ为圆O关于M点的极线，于是OM⊥IJ.

图3

图4

2001年，王绍恒，王昌成[10]也利用射影几何知识，给出蝴蝶定理的一个证法.

如图3.圆O，直线对DC和EF及CF和DE分别交直线AB于M、M及P、Q.由代沙格对合定理，知这三对点A、B；M、M及P、Q属于同一对合中的对应点，由M点为AB中点，知该对合是以M为中心的对称变换，于是P、Q必是关于M为中心的对称点，即PM＝MQ.

在命题的推广中，我们也取得了较好的成果.

1995年，赵临龙[11]将AB上的点M移至AB弦外，给出结论.

命题3 如图4.过圆内一点M引两弦CD，HG分别交弦AB于E’、F’，HC、DG分别交AB于E、F，记AE’＝a，BF’=b，EE’=X，FF’=y，E’F’=d，则显然，当d=0，即E’、F’、M三点合于AB上一点，这为坎迪(A.L.Candy)蝴蝶形式.

1998年，赵临龙[12]利用射影几何知识，给出n条二次曲线的蝴蝶定理结论.

命题4 设过平面四异点C、D、G、H的n条二次曲线ri(i>2，且ri非退化成直线对CD与GH)，交有向直线X于两点Ai，Bi，对CD与GH、CH与DG分别交轴X于E’、F’；E、F，记有向线段数量E’Ai=ai，F’Bi=bi，EE’=x，F’F=y，E’F’=d,则

此结果已被《中国数学文摘》和《美国数学评论》摘录，这无疑提高了国人在初数研究中的知名度.

2000年，赵临龙与其学生马念珠，廖伟[13]又利用射影几何知识，给出命题2的一个证明.

如图2.折六边形BHGDFE的三双对边DH与DF，GH与FE，GD与EB的交点C、O、A共线，则由帕斯卡（Pasca）定理，知六边形内接于一二次曲线.此时，AB=AD、CB=CD,则AC为BD的中垂线，即PO=OQ.

本证法，真正将蝴蝶定理作为定理在应用.

2001年，TI杯全国初中数学竞赛有蝴蝶定理变形题.

图5

图6

2004年，权大学，赵临龙[13]又给出推广结论.

命题7 如图7.过相交于点M的两直线L1与L2之间一点O引两线段CF，DE分别交直线于G、H，CE和DF交L分别于A、B，L分别交L1、L2于点M1、M2，则

图6

当介绍到这里，怎能不激发国人研究初数的热情？

2 初数研究重复前人的工作

正是历史原因，外国人在平面几何研究中，取得丰硕成果.因此，在初数研究中，对自己的发现，一定要追踪求源，看是不是前人早已解决的问题.否则就会出现变前人成果为自己“发现”的不良倾向.

像文[8]讨论蝴蝶定理变形时，给出椭圆的相交弦定理.该结论早在 1898年，由英国科克肖特（A.Cockshot）和沃尔特斯（F.B.Walters）所著《圆锥曲线的几何性质》（蒋声译，上海教育出版社）所给出，其为该书命题34.

因此，在初数研究中，必须注意学习和尊重前人的劳动成果.

3 初数研究缺乏争鸣

儒家文化使我们更注意整体化的统一性，但它往往又忽略了个性化的奇异美，极大地影响了创新能力的发挥.因此，在初数研究中，国人对问题的讨论，少有争鸣.没有争鸣，就没有创新.因而，在初数研究中，应善于争鸣，通过争鸣就能达到明辨是非，利于创新能力的培养.

在[1-8]中，所谈到命题1的好处时，几乎所有文献都持肯定态度，很少有不同意见.都认为命题1对培养学生的研究能力大有益处，由于蝴蝶定理的变形有很多问题需要人们探求以及定理证明有许多（除解析方法外）方法可以使用.但他们不知作过试卷分析没有？真正有多少考生在答卷中，在做定理的变形研究，又有多少考生给出非解析方法的新证法.

因此，人们关注命题 1，都是由于蝴蝶定理的缘故，而并非是对考题有多少好感.该题作为解析几何问题，考生第一反映只能考虑解析方法，就是在解析范围内，也只能考虑普通曲线，而无法实现参数方程，极坐标方程的求解.显然，这具有一定的局限性，不是培养学生创新能力的好题.

当然，在谈到命题证明，我们仍然借助射影几何的二次曲线束理论，给出一种证法.

得|OP|=|OQ|.

当然，为形成良好的争鸣，我们必须具有一定的理论基础，尤其应掌握一定的高等数学知识，这才能形成高观点下的初数研究.

[1]玲珑居士.从试题的能力立意及夯实基础[J].中学生数学，2003（9）上.

[2]王志江.浅析2003年北京数学科高考试题[J].中学数学教学参考，2003（9）.

[3]王志江，王文利.高观点试题与研究性学习[J].中学数学，2003（10）.

[4]玲珑居士.落实“考生为本”，究出“能力立意”[J].中学数学月刊，2003（11）.

[5]邹明.圆的若干性质的圆锥曲线推广[J].福建中学数学，2003（12）.

[6]周春荔.蝴蝶定理[J].数学通报，2004（1）.

[7]李峦方.高考数学题中的高考数学背景[J].中学数学，2004（2）.

[8]陆逢波.圆的重要定理在椭圆上的推广[J].数学通报，2004（3）.

[9]刘海蔚，陈举，邓御寇.高等几何[M].重庆：西南师范大学出版社，1993.

[10]王绍恒，王昌成.用射影几何观点导出新的欧氏几何命题[J].西南师范大学学报：自然科学版，2001（1）.

[11]赵临龙.蝴蝶定理的最终形式[J].数学教师，1995（4）.

[12]赵临龙.射影观点下的蝴蝶定理[J].湖南教育学院学报，1998（2）.

[13]赵临龙，马念珠，廖伟.射影观点下的筝形蝴蝶定理[J].铜仁师范高等专科学校学报，2000（4）.

[14]权大学，赵临龙.直线型蝴蝶定理的推广[J].琼州大学学报，2004（2）.