卢莹莹， 赵晓华

(浙江师范大学数理与信息工程学院，浙江金华 321004)

0 引言

本文的研究与如下著名的n维Lotka-Volterra(LV)系统有关:

式(1)中:xj≥0通常表示第j个物种的种群密度;ajk表示作用系数;εj是与环境相关的参数;A=(ajk)称为系统(1)的作用矩阵．这类系统自20世纪二三十年代提出以来，作为应用数学的一个著名系统模型广泛存在于生物学、化学、传染病学、经济学、计算机科学等领域，一直受到国内外相关领域学者的高度关注，积累了大量的研究成果［1-2］．尽管如此，除了对2维LV系统性质已有较全面的认识外，对维数n≥3的一般LV系统的认识还很不够，其丰富的动力学性质还远没有被完整认识．研究表明，LV系统的动力学性质与其作用矩阵A=(ajk)的代数性质具有紧密联系．为方便起见，通常根据作用矩阵A=(ajk)的3种情形，将LV系统分为竞争(或合作)型、保守型及耗散型来研究．

矩阵A=(ajk)是否为竞争(或合作)型，按定义即可直接判断;而矩阵A是否为保守型的判定问题早已被Volterra解决［3］．关于耗散矩阵的判定，自Volterra于20世纪30年代提出耗散矩阵以来，研究进展缓慢．直到1978年，Cross才在文献［4］中给出了3阶实矩阵耗散的充要条件．Redheffer在文献［5］中较系统地研究了任意阶耗散矩阵的判定条件;文献［6］进一步讨论了3×3耗散实矩阵的充要条件及Volterra乘子的唯一性;文献［7-8］研究了比耗散矩阵更符合实际应用的所谓稳定耗散矩阵，获得了稳定耗散判定的一些结果．在文献［5，7-8］的基础上，文献［9］讨论了稳定耗散矩阵的一般判定条件，提出了最大稳定耗散图……