张玉敏，张国春，刘英

（1.河北金融学院 管理系，河北 保定 071051；2.河北大学 数学与计算机学院，河北 保定 071002）

Hilbert空间中关于松弛协强制映射的广义变分不等式组

张玉敏1，张国春2，刘英2

（1.河北金融学院 管理系，河北 保定 071051；2.河北大学 数学与计算机学院，河北 保定 071002）

引入了一类新的关于松驰协强制映射的广义变分不等式组，通过用度量投影的方法证明了这类广义变分不等式组解的存在性和唯一性，而且建立了一类新的算法来逼近这一不等式组的解，同时讨论了该算法的收敛性，使得近期相关结果成为所得结果的特殊情况.

松驰协强制性映射；广义变分不等式组；度量投影；Lipschitz连续；Mann-迭代

MSC 2010：47H09；47H17

1 预备知识

假定H是一个Hilbert空间，用〈·，·〉和‖·‖分别表示H中的内积和范数.

用度量投影的方法在Hilbert空间考虑了关于松驰协强制映射的广义变分不等式组的逼近解，所得到的结果推广和提高了文献［1-2］相关结果.

设H1⊂H，H2⊂H是2个实 Hilbert空间，K1⊂H1，K2⊂H2是2个非空闭凸子集，T1：K1×K2→H1，T2：K1×K2→H2是2个双变量映射，g1：K1→K1，g2：K2→K2是2个单变量映射，考虑下面的非线性广义变分不等式组（SGVI），求（x＊，y＊）∈K1×K2，g1（x＊）∈K1，g2（y＊）∈K2使得

引理1 任意给定z∈H，那么u∈K满足不等式

其中K⊂H为一非空闭凸子集，PK是从H到K上的度量投影映射，众所周知，算子PK是非扩张的.

由引理1，容易看到SGVI问题（1）和（2）等价于下面的投影公式：

其中ρ＞0，λ＞0是2个常数.

下面考虑SGVI问题（1）和（2）的一些特殊形式：

1）如果T1＝T2，g1＝g2，那么SGVI问题（1）和（2）成为下面的变分不等式问题：求（x＊，y＊）∈K1×K2，g1（x＊）∈K1使得

2）如果T1＝T2，g1＝g2，且T1为单变量映射，则SGVI问题（1）和（2）成为下面的变分不等式问题：求x＊∈K1，g1（x＊）∈K1使得

这一问题已被文献［2］所研究……