邝 钰 吴 润 李 岩

北京航天自动控制研究所，北京100854

分数阶微积分把传统整数阶微积分的阶次推广到了复数形式［1］，此概念最早是1695年Leibniz 和Hospital 提出的，经过300 多年的发展，分数阶微积分已经应用到材料记忆、力学和电特性的描述、粘弹性阻尼、分形理论等诸多工程领域［2］，分数阶微积分在控制系统中应用还比较新。理论上，控制系统既包括分数阶被控对象又包括分数阶控制器［3］。朱呈祥等人对被控对象的分数阶辨识进行了研究［4］，然而，在控制实践中，被控对象的模型已经有了经典的整数阶模型，所以往往仅考虑控制器为分数阶［3］，例如，Alain Oustaloup 等人提出了非整数阶鲁棒控制(CRONE)［5］，以及目前国内外研究较多的分数阶PID(PIλDμ)控制［2，6］也是如此。

传统整数阶PID 控制结构简单、鲁棒性强，广泛应用于航天、冶金、电力等过程控制中，而PIλDμ控制是传统PID 控制的推广，它比PID 控制多了积分阶次λ 和微分阶次μ 这2个可调参数，控制器参数的整定范围更广，控制更灵活。本文首先研究了分数阶控制器的模拟及数字实现方法，然后以阀控对称液压缸PIλDμ控制系统为例，对分数阶控制器的数字实现方法进行了研究与验证。

1 分数阶微积分

分数阶微积分的基本算子为a，a 和t 是积分的上、下限，α 为微积分阶次，可以是一个复数，本文只研究α∈R 的情况。

分数阶微积分定义有多种，常见的分数阶微积分定义有Grünwald－Letnikov(G－L)定义、Riemann－Liouville(R－L)定义和Caputo 定义等［8］，以常用的R－L 定义为例，其分数阶积分定义为

其中，0 ＜α ＜1，Gamma 函数Γ(λ)定义为

由式(2)的积分定义，还可以定义出分数阶微分。……