房玉志, 魏凤英

(福州大学 数学与计算机科学学院, 福州 350108)

考虑具有功能反应的捕食系统:

(1)

其中:d>0;e>0;g(x)为食饵种群的增长率;φ(x)为捕食者的功能反应函数. 文献[1]研究了g(x)=a-bxm(a>0,b>0, 00, 0<θ<1)当m=θ=1/2,a=c=1时系统(1)的结果; 文献[2]研究了当m+θ=1,m=1/n,n>2为正整数时系统(1)的结果; 文献[3]讨论了当1/2≤m=θ<1, 且使函数φ(x)=x1/m为偶函数时系统(1)的结果; 文献[4]研究了当m=θ=1/n,n>2为正整数时系统(1)的结果. 系统(1)的其他结果参见文献[5-7]. 本文研究当m=θ=k/n,n>2, 1≤k

(2)

(3)

考虑系统:

(4)

1 系统的平衡点及其性态

定理11)O(0,0)是系统(4)的鞍点;

2) 当A1>b时,E1(b-1/k,0)是系统(4)的鞍点； 当A1

(5)

由y+P2(x,y)=0解得y=bxn-xn-k, 做变换T:ξ=x,η=y+P2(x,y), 在原点O(0,0)充分小的邻域内, 存在逆变换T-1:x=ξ,y=η-ξn-k+bξn, 变换T将系统(5)化为

根据文献[8]中定理7.2知,O(0,0)是系统(4)的鞍点.

2) 系统(4)在E1(b-1/k,0)处对应的线性系统矩阵

当A1>b时,E1(b-1/k,0)为系统(4)的鞍点; 当A10, trJE1=b-(n-1)/k(A0A1-A0b-bk)<0, 于是,E1(b-1/k,0)为系统(4)稳定的焦(结)点.

余下与2)同理可证.

2 系统的极限环

证明： 取Dulac函数[9]B(x,y)=xαyβ, 其中:

证明： 存在性. 由定理1中3)知, 奇点E2是不稳定的焦点或结点, 可作为环域内境界线. 下面构造环域外境界线. 首先, 过E1(b-1/k,0)做直线

从而, 系统(4)的轨线与l2相遇时均自外向内穿入; 而R3O和OE1:y=0是积分轨线, 于是闭合曲线OE1R1R2R3O构成环域外境界线, 且其上除鞍点外无其他类型的奇点, 故由Poincare-Bendixson环域定理可知, 系统(4)在域D内存在包围奇点E2的极限环.

(6)

(7)

其中:

φ(y)=1-e-y;

f(x)=F′(x)=nb(x+x0)n-1-(n-k)(x+x0)n-k-1.

经验证, 系统(7)满足文献[10]中定理的条件. 从而, 广义的Lienard系统(7)在带形区域{x-x0

综上所述, 本文研究了一类具有功能反应的两种群捕食系统极限环的存在性, 改进并推广了目前已有的结果, 是继m+θ=1,m=1/n,n>2[2]后又一个较普遍的结果, 解决了m=θ为有理数的情形. 上述系统虽对有理数具有普遍性, 但仍不能解决无理数的情形, 并且无法得到m≠θ更一般的结果.

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