凤 天 宏

(1. 东北财经大学 数学与数量经济学院, 辽宁 大连 116025; 2. 吉林大学 数学研究所, 长春 130012)

磁共振电阻抗成像(magnetic resonance electrical impedance tomography, MREIT)是一种新型的生物医学成像技术[1-2], 它将传统的电阻抗成像(electrical impedance tomography, EIT)技术与磁共振电流密度成像(magnetic resonance current density imaging, MRCDI)相结合, 利用物体内部的电流密度分布和内部电场产生的磁场信息及成像体周围的电势分布重构内部介质的电导率. 从数学的角度看, 采用生物组织内部的信息减弱了问题的不适定性, 克服了传统EIT技术仅利用介质边界的有限测量数据, 从而导致求解过程不稳定、 反演困难等缺点, 可能得到更理想的数值结果和更高分辨率的图像.

目前, 关于MREIT的理论和算法大部分基于“电导率分布为各向同性”这一基本假设[3-4], 然而绝大多数生物体组织的电导率分布却为各向异性. 因此, 为了使这种成像方法能用于实际, 需要确定各向异性MREIT问题的唯一性. 另一方面, 实际应用中很多各向异性物体都可以近似地视为正交各向异性导体, 即电导率σ除对角线外全为0[5], 对这种情形下的唯一性, 会得到与各向同性MREIT类似的一些结论和方法. 本文将证明如果已知电导率的比率, 则在至少有两组互不平行输入电流的条件下, 电导率可以被唯一性重构.

1 MREIT问题的模型

设导电物体Ω⊂R2, 其上电导率分布为正交各向异性, 即

(1)

(2)

其中:n为边界∂Ω的单位外法向量;g表示流过电极E+和E-的已知电流, 满足

(3)

MREIT模型与EIT模型的不同之处在于引入了MRCDI技术[6], 改变了传统EIT成像的数据获取方式, 利用MRCDI技术可以直接测量成像物体内部的磁场分布B, 再通过安培定律得到物体内的电流密度分布J, 即

▽×B=μ0J,

(4)

其中μ0=4π×10-3为真空磁导率. 因此, 在MREIT模型中, 已知的信息不仅包括边界上的输入电流g, 也包含了物体内部的电流密度分布J, 且电流密度J、 电势分布u和电导率之间满足欧姆定律：

J=-σ*▽u, 在Ω内.

(5)

一般情况下, 不需要知道边界处电势分布的信息, 这是因为在实际应用中, 要准确测量边界上每点的电压值并非易事.

综上所述, 正交各向异性MREIT问题就是求解具有形如式(1)的电导率σ*, 并且电势u满足边值问题:

(6)

其中:i=1,2;σ11(ξ0),σ22(ξ0)已知.

2 MREIT问题的唯一性

假设MREIT问题中, 正交各向异性电导率分布具有比式(1)更特殊的形式, 并假设已知σ11和σ22比率, 即

(7)

证明： 对于i=1,2, 根据式(6)在Ω中成立Ji=-σ*▽ui, 所以有

▽×(σ*▽ui)=-▽×Ji.

(8)

(9)

即

(10)

(11)

将式(11)代入式(10)并重新整理, 得

事实上, 式(12)可以等价的写成

(13)

(14)

进一步, 由式(11), 并且由σ和k均大于0, 可知下式成立:

(15)

由于Ω⊂R2, 所以由式(15)可推出

(16)

(17)

(18)

综上所述, 本文探讨了介质内电导率分布为正交各向异性MREIT问题的唯一性, 证明了如果已知电导率比率, 则在至少有两组互不平行输入电流的条件下, 电导率可以被唯一重构. 此外, 大部分生物体组织的电导率分布都为各向异性, 因此, 各向异性MREIT问题的重构算法对实际应用非常关键.

[1] Joy M, Scott G, Henkelman M. In Vivo Detection of Applied Electric Currents by Magnetic Resonance Imaging [J]. Magnetic Resonance Imaging, 1989, 7(1): 89-94.

[2] Zhang N. Electrical Impedance Tomography Based on Current Density Imaging [D]: [Master’s Degree Thesis]. Toronto: University of Toronto, 1992.

[3] Woo E J, Seo J K. Magnetic Resonance Electrical Impedance Tomography (MREIT) for High-Resolution Conductivity Imaging [J]. Physiol Meas, 2008, 29(10): R1-R26.

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[8] Colton D, Kress R. Inverse Acoustic and Electromagnetic Scattering Theory [M]. Berlin: Springer-Verlag, 1992.