郭 爽, 刘 洋, 沙元霞, 于 健

(大庆师范学院 数学科学学院, 黑龙江 大庆 163712)

0 引 言

对多种群生物模型性质的研究目前已有许多结果[1-10]. 种群间的关系随种群数量的增加而变得更加复杂, 例如3个种群的关系可能是1个食饵2个捕食者、 2个食饵1个捕食者、 彼此竞争或食物链关系. 基于此, Freedman等[1]提出了如下一类Gause型食物链模型：

(1)

其中:x(t),y(t)和z(t)分别为t时刻食饵、 捕食者和顶层捕食者的数量;g(x)为食饵的内部增长函数;p(x)和q(y)分别为捕食者和顶层捕食者的功能反应增长函数;h,s>0分别是捕食者和顶层捕食者的死亡率;e,m>0分别是食饵和捕食者的转换率. Ginoux等[2]强调了模型(1)由几个Hopf分支和一个双周期分支串联而产生一个蜗牛型的混沌吸引子； Hastings等[3]讨论了当一个合理的参数被选定后, 随着参数的变化, 系统(1)会经历稳定的平衡点、 极限环和“茶杯”型吸引子. 但文献[2-3]都没有讨论相应的时滞模型. 由于食饵总是有一个生长期或怀孕期, 所以将时滞引入模型更具有实际意义.

1 共存平衡点的稳定性与Hopf分支分析

(2)

这里α,β,k,p,h,e,r,s,m都是正参数.

为方便, 把式(2)非量纲化, 可得：

(3)

这里:

其中:

特征值λ满足如下特征方程：

D(λ,τ)=λ3+a2λ2+a1λ+a0+b0λe-λτ=0,

(4)

其中:a2=-m11;a1=-m32m23>0;a0=m32m23m11;b0=-m12n21>0.

如果m11<0, 则当τ=0时, 根据Routh-Hurwitz准则, 式(4)的所有特征值都具有负实部, 于是有:

当τ≠0时, 把λ=iω代入式(4), 有：

1) 当ω=0时,D(0,τ)=a0=m23m32m11≠0;

2) 当ω≠0时,D(iω,τ)=(iω)3+a2(iω)2+a1iω+a0+b0iωe-iωτ=0.

分离实虚部, 有

-a2ω2+a0+b0ωsinωτ=0,

(5)

-ω3+a1ω+b0ωcosωτ=0

(6)

成立. 将式(5)和式(6)平方相加, 有

(7)

l3+Al2+Bl+C=0.

(8)

根据文献[8], 有：

引理2令

1) 如果C<0, 则式(8)至少有一个正根;

2) 如果C≥0,A2-3B<0, 则式(8)没有正根;

3) 如果C≥0, 则式(8)有正根 ⟺l1>0和h′(l1)≤0成立.

(9)

1、家庭方面的措施。家长作为孩子的导向标，需要充分认识自身在小学生成长过程中发挥的重要作用，并对学生加强关心、沟通和交流等，才能降低孩子对父母的惧怕感。同时，在设定期望值时，应全面结合小学生的实际情况，合理的分析孩子的成绩，才能为小学生营造一个温馨、健康、积极的家庭环境。同时，家长要与教师、学校保持良好互动，经常询问小学生的学习情况、在校情况等，才能更好的掌握孩子的学习动态，对于增强小学生的学习动力有着极大作用。另外，家长要及时的鼓励孩子，通过不同的方法与孩子进行交流，并在条件允许的情况陪伴孩子学习、识字和玩游戏等，可以更好的促进小学生提高学习成绩，对于提高孩子的语文综合能力有着重要影响。

定义

(10)

即±iω0是当τ=τ0时式(4)的纯虚特征根. 于是, 有：

2)C≥0,A2-3B<0或C≥0,B>0.

记λ(τ)=α(τ)+β(τ)是方程(4)满足α(τ0)=0,ω(τ0)=ω0的根, 则有：

1)C<0;

证明： 由引理2知, 式(4)必存在纯虚特征根, 由文献[11]知定理的前半部分成立. 因此只需证明当τ=τ0时, Hopf分支存在的横截条件成立. 将式(4)关于时滞τ求导, 有

记

Δ=[(a1-3ω2)cosωτ-2a2ωsinωτ+b0]2+[(a1-3ω2)sinωτ+2a2ωcosωτ-b0ωτ]2,

由式(5)和式(6), 有

2 数值模拟

选择下列一组参数进行数值模拟：

a=0.136,b=0.37,c=0.63,r=0.32,s=0.123,d=0.896,l=0.15.

所给参数满足定理2的条件. 图1～图3分别给出了共存平衡点的波动变化曲线、 平衡点附近的周期波动曲线和大范围周期波动曲线.

图1 当τ=4.365 8<τ0=10.621 8时平衡点的波动曲线Fig.1 Fluctuation diagram of (0.943 3,0.500 0,0.287 1) when τ=4.365 8<τ0=10.621 8

图2 当τ=22.621 8>τ0=10.621 8时平衡点附近的周期波动曲线Fig.2 Fluctuation cycle diagram near the equilibrium when τ=22.621 8>τ0=10.621 8

图3 当τ=192.621 8, 442.607 8时平衡点附近的周期波动曲线Fig.3 Fluctuation cycle diagram near the equilibrium when τ=192.621 8, 442.607 8

由图1可见, 本文找到了一个Hopf分支值τ0=10.621 8, 使得当τ<τ0时, 图1的共存平衡点经过短暂的波动, 最终趋于一个稳定的水平. 由图2可见, 当τ>τ0时, 系统出现一个稳定的周期解. 由图3可见, 系统(2)的Hopf分支是全局存在的. 由于大多数种群的数量总在波动中, 故通过研究种群数量的变化规律, 可以为害虫的预测及防治提供科学依据.

[1] Freedman H I, Waltman P. Mathematical Analysis of Some Three-Species Food-Chain Models [J]. Mathematical Biosciences, 1977, 33(3/4): 257-276.

[2] Ginoux J M, Rossetto B, Jamet J L. Chaos in a Three-Dimensional Volterra-Gause Model of Predator-Prey Type [J]. International Journal of Bifurcation and Chaos, 2005, 15(5): 1689-1708.

[3] Hastings A, Powell T. Chaos in Three-Species Food Chain [J]. Ecology, 1991, 72(3): 896-903.

[4] LIU Gui-rong, YAN Wei-ping, YAN Ju-rang. Positive Periodic Solutions for a Class of Neutral Delay Gause-Type Predator-Prey System [J]. Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications, 2009, 71(10): 4438-4447.

[5] WANG Hong-bin, JIANG Wei-hua. Hopf-Pitchfork Bifurcation in Van Der Pol’s Oscillator with Nonlinear Delayed Feedback [J]. Journal of Mathematical Analysis Applications, 2010, 368(1): 9-18.

[6] JIANG Yu-qiu, WEI Feng-ying. Existence of Multiple Positive Periodic Solutions for Three-Species L-V System with Holling Ⅱ Type Functional Response and Harvesting Terms [J]. Journal of Jilin University： Science Edition, 2011, 49(2): 195-202. (姜玉秋, 魏凤英. 具HollingⅡ类功能反应及捕获的三种群L-V系统多周期解的存在性 [J]. 吉林大学学报： 理学版, 2011, 49(2): 195-202.)

[7] DING Xiao-quan, JIANG Ji-fa. Positive Periodic Solutions in Delayed Gause-Type Predator-Prey Systems [J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2008, 339(2): 1220-1230.

[8] GUO Shuang, BAI Xu-ya, LI Zhao-xing. Existence of Bifurcation on a General Gause Food Chain Model [J]. Journal of Natural Science of Heilongjiang University, 2010, 27(5): 619-621. (郭爽， 白旭亚, 李兆兴. 一类Gause型食物链模型Hopf分支的存在性 [J]. 黑龙江大学自然科学学报, 2010, 27(5): 619-621.)

[9] YANG Fan, ZHANG Chun-rui. Stability Analysis in an Three-Dimensional Infected Prey-Predator System with Delay [J]. Journal of Natural Science of Heilongjiang University, 2010, 27(2): 180-187. (杨帆， 张春蕊. 食饵有感染的时滞三维捕食-被捕食模型稳定性分析 [J]. 黑龙江大学自然科学学报, 2010, 27(2): 180-187.)

[10] WEN Shao-xiong, FAN Meng. Existence of Periodic Solution of a Predator-Prey System with Hassell-Varley Functional Response [J]. Journal of Northeast Normal University: Natural Science Edition, 2011, 43(1): 10-15. (温绍雄, 范猛. 具有Hassell-Varley型功能性反应的捕食者-食饵系统周期解的存在性 [J]. 东北师大学报: 自然科学版, 2011, 43(1): 10-15.)

[11] RUAN Shi-gui, WEI Jun-jie. On the Zeros of a Third Degree Exponential Polynomial with Applications to a Delayed Model for the Control of Testosterone Secretion [J]. IMA Journal of Mathematical Applied in Medicine and Biology, 2001, 18(1): 41-52.