周 硕, 王 霖, 王 雯

(东北电力大学 理学院, 吉林 吉林 132012)

0 引 言

近年来, 关于矩阵方程组AX=B,XC=D求解问题的研究已有许多结果[1-5]. 本文研究矩阵方程组AX=B,XC=D的Hermitian反自反(反Hermitian反自反)最小二乘解.

记Cm×n表示m×n阶复矩阵集合,UCn×n表示n×n阶酉阵集合;AH,A+和‖A‖分别表示矩阵A的共轭转置矩阵、 Moore-Penrose广义逆矩阵和矩阵A的Frobenius范数;In表示n阶单位矩阵;S表示反序单位阵, 即In=(e1,e2,…,en), 则S=(en,en-1,…,e1)； 对全体A,B∈Cm×n, 定义内积〈A,B〉=tr(BHA), 对∀A,B∈Cm×n,A*B=(aijbij)表示矩阵A和B的Hadamard乘积,Cm×n是完备的内积空间并且该内积空间下的矩阵范数为Frobenius范数.

定义1如果一个n×n矩阵J满足JH=J,J2=In, 则称J为n阶广义反射矩阵.

定义2给定一个广义反射矩阵J, 矩阵A∈Cn×n是Hermitian反自反矩阵当且仅当AH=A,A=-JAJ. 所有n阶Hermitian反自反矩阵的全体记为HAJn×n.

定义3给定一个广义反射矩阵J, 矩阵A∈Cn×n是反Hermitian反自反矩阵当且仅当AH=-A,A=-JAJ, 所有n阶反Hermitian反自反矩阵的全体记为AHAJn×n.

问题1给定A,B∈Cm×n,C,D∈Cn×s, 求X∈HAJn×n(或X∈AHAJn×n), 使得

‖AX-B‖2+‖XC-D‖2=min.

这里SE是问题1的解集合.

本文研究矩阵X∈HAJn×n(或X∈AHAJn×n)的特殊性质, 应用这些性质及文献[4-8], 得到了问题1的一般解, 并当SE为非空集合时, 给出了问题2的解.

当J=S时, 本文研究结果可转化为矩阵方程组AX=B,XC=D的对称次反对称(反对称次对称)最小二乘解. 当C,D=0时, 本文研究结果可转化为矩阵方程AX=B的对称次反对称(反对称次对称)最小二乘解[9-10].

1 问题1的求解

先讨论n×n广义反射矩阵J的结构和集合HAJn×n(AHAJn×n). 因为J2=In, 所以J可能的特征值只有+1和-1. 假设特征值+1是r重的. 因为JH=J, 则+1对应的特征子空间也是r维的, 它的正交补空间(显然是n-r维的)是-1对应的. 因此, 易得:

引理1给定一个n×n广义反射矩阵J, 则存在酉矩阵U, 使得

(1)

由定义2、 定义3及引理1, 可得矩阵集合HAJn×n和AHAJn×n的如下结果.

引理3给定矩阵A∈Cn×n, 广义反射矩阵J的谱分解由式(1)给出, 则矩阵A∈AHAJn×n当且仅当

证明: 可参考引理2的证明.

引理4[7]给定矩阵A,B∈Ch×r,C,D∈Cr×l, 矩阵A和C的奇异值分解如下:

则极小化问题‖AX-B‖2+‖XC-D‖2=min, 解的形式为

∀X22∈C(r-r1)×(r-s1),

由引理1和引理2知, 求解矩阵方程组AX=B,XC=D的Hermitian反自反解可等价地表示为

记

(2)

这里:A1,B1∈Cm×r;A2,B2∈Cm×(n-r);C1,D1∈Cr×s;C2,D2∈C(n-r)×s, 可得

(3)

求解式(3)等价于求解矩阵方程组AX=B,XC=D的Hermitian反自反解.

同理, 由引理1和引理3知, 求解矩阵方程组AX=B,XC=D的反Hermitian反自反解等价于求解

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

由于矩阵方程组AX=B,XC=D等价于式(3)或(4). 因此易得如下定理.

定理1如果AU,BU,UHC,UHD的分块形式由式(2)给出, 则问题1在HAJn×n中的最小二乘解可以表示为

(11)

(12)

证明: 由引理1和引理2有

因此, 问题1等价于

(13)

由引理4与式(5)～(8)可知,X12可以表示为式(12), 进而, 可以得到问题1在HAJn×n中解的表达式(11).

定理2如果AU,BU,UHC,UHD的分块形式由式(2)给出, 则问题1在AHAJn×n中的最小二乘解可表示为

(14)

(15)

证明: 类似定理1的证明.

2 问题2的求解

由式(11), 易证问题1有解X∈HAJn×n(AHAJn×n), 则SE为一闭凸集. 因此, 对任意给定矩阵X*∈Cn×n, 问题2存在X*的唯一最佳逼近解.

定理3对任意矩阵X*∈Cn×n, 其他符号与定理1相同, 如果

(16)

(17)

这里

(18)

证明: 当SE非空时, 由式(11)易证SE是闭凸集,Cn×n在Frobenius范数下构成Banach空间, 因此问题2有唯一的解, 故有

可知问题2的‖X*-X‖2=min等价于

(19)

进而

这里

证明: 类似于定理2及定理1的证明.

例1已知矩阵

根据定理1和定理3, 应用MATLAB程序, 可计算问题2的最佳逼近解为

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