莫文辉

（湖北汽车工业学院 机械工程系，湖北 十堰442002）

机械零件材料性能参数、几何尺寸、受到的载荷都是随机的。考虑随机因素的有限元称为随机有限元。CG方法与Monte Carlo方法有机的结合，使其成为分析结构随机有限元问题的一种有效的方法［1，3－6］，具有计算精度高、收敛快的特点。

1 正态随机变量的模拟

只要产生12个均匀发布的随机数，将它们相加，再减去6，就能近似地得到标准正态变量的样本值。

式中： μi，σi为均值和标准差；N（0,1）表示正态分布。

机械零件材料性能参数、几何尺寸、受到的载荷被看着正态随机变量。

2 CG 随机有限元［1］

有限元的方程为

式中：［K］为整体刚度矩阵；｛δ｝为位移矩阵；｛F｝为载荷矩阵。

首先选取近似解作为初始值

计算初次残差矢量

及矢量

其中［K］T为［K］的转置矩阵。

｛δ｝的均值是

｛δ｝的方差为

3 优化设计的数学模型

目标函数：

位移的约束条件：

设计变量的约束条件：

式中：目标函数f（x）是使结构的质量最小，x指设计变量； ρ是材料的密度；V 是结构的体积；〈μ{δt+Δt}〉,〈Var{δt+Δt}〉指动态位移的均值和方差的上下界限；x和x是设计变量x的上下界限。

4 计算实例

图1所示一个悬臂梁。长度、宽度、高度、波松比、弹性模量、载荷F被看着正态随机变量，它们的均值为1m,0.1m,0.05m,0.2， 2×1011N·m－2,100N，它们的标准差为0.2,0.1,0.1,0.01,109,0.1。悬臂梁受的载荷为F，被分解为400个矩形单元，具有505个节点。应用惩罚函数法把约束优化问题转化为无约束优化问题。无约束优化问题采用Powell方法。优化的初始点为（1,0.1,0.05，0.2,2×1011），计算机迭代119次收敛。表1所示设计参数的比较。

表1 设计参数比较m

5 结论

设定材料性能参数、几何尺寸、受到的载荷为正态随机变量，运用CG随机有限元，给出了结构优化设计的数学模型。……