宫 娟，陈宗煊

(华南师范大学数学科学学院，广东广州 510631)

关于二阶线性微分方程解的增长性

宫 娟，陈宗煊*

(华南师范大学数学科学学院，广东广州 510631)

研究了二阶微分方程f″+A1(z)P(ez)f′+A0(z)Q(ez)f=0和f″+(A1(z)P(ez)+D1(z))f′+(A0(z)Q(ez)+D0(z))f=0解的增长性，其中P(ez)与Q(ez)是ez的非常数多项式，它们的常数项都为零，且次数不相等.证明了该方程的每个非零解有无穷级.

微分方程; 整函数; 增长级

1 引言与结果

本文所涉及的亚纯函数的值分布的基本理论和标准记号见文献[1]-[3]， 并用σ(f)表示亚纯函数f(z)的增长级.

考虑微分方程

f″+e-zf′+Q(z)f=0

(1)

解的增长级问题，其中Q(z)是有限级整函数.

众所周知，方程(1)的每个解都是整函数，而且如果f1和f2是方程(1)的任意2个线性无关解，那么至少有一个具有无穷级[4]，所以方程(1)的“大多数”解具有无穷级.

一个很自然的问题是：当Q(z)满足什么条件时，能保证方程(1)的每个解具有无穷级？

文献[5]证明了

定理A 假设C(≠0)是复常数，如果方程

f″+e-zf′+Cf=0

(2)

具有有限级非零解，那么C=-k2,其中k是一个正整数，反过来，对每个正整数k,方程(2) (其中C=-k2)具有关于ez的k次多项式解f.

文献[6]-[8]研究了Q(z)是特殊多项式的情况，文献[9]对于Q(z)是一般多项式的情况证明了

定理B[9]假设Q(z)是非常数多项式，D是非零常数，那么方程

f″+De-zf′+Q(z)f=0

(3)

的所有非零解具有无穷级.

对于Q(z)是超越整函数的情况,有

定理C[8]假设Q(z)是超越整函数且级σ(Q)≠1,那么方程(1)的每个非零解具有无穷级.

定理C表明当σ(Q)=1时，方程(1)可能有有限级解，继续深入考虑这个问题：当σ(Q)=1时，满足什么条件，将保证方程(1)的每个非零解有无穷级？对于更一般的问题，有

定理D[10]假设Aj(z) (≢0;j=0,1)是整……