唐雪梅， 刘名生

(华南师范大学数学科学学院,广东广州 510631)

α次殆β型螺形映照的充分条件

唐雪梅， 刘名生*

(华南师范大学数学科学学院,广东广州 510631)

给出了n中单位球Bn上的α次殆β型螺形映照的一个充分条件和一般复Banach空间单位球B上的α次β型螺形映照的一个充分条件，所得的结果推广了相关结果.

局部双全纯映照;α次殆β型螺形映照;α次β型螺形映照

设D2f(z)(·,·)表示f在点z的二阶Fréchet导数，亦可看作n×n到n的有界线性算子，它在{z}×n上的限制为一个n阶复方阵，表示为

D2f(z)是X×X到X的有界线性算子，满足

更高阶的情形与此类似.

文献[1]建立了多复变数单位球上的全纯映照的一些偏微分不等式，并得到星形映照和螺形映照的充分判别条件；文献[2]在n中的有界星型圆型域和复Banach空间中的单位球上建立了一些偏微分不等式，分别给出了α次的殆星映射在这两类域上的充分判别条件；文献[3]在单位球上给出了α次星形映照的一个充分判别条件.文献[4]、[5]研究了α阶星形映照的充分条件. 本文借鉴他们的研究方法，结合α次殆β型螺形映照和α次β型螺形映照在单位球上的性质，分别得到α次殆β型螺形映照和α次β型螺形映照的充分条件.

Re{e-iβDf(z)-1f(z),z}≥α‖z‖2cosβ,∀zBn,

则称f为Bn上的α次殆β型螺形映照.

Rep(z),z>0,0<‖z‖<‖z0‖,

(1)

则f为Bn上的α次殆β型螺形映照.

证明设p(z)=e-iβDf(z)-1f(z), 则p(0)=0,Dp(0)=e-iβI. 下面只需证明

Rep(z),z≥α‖z‖2cosβ,zBn{0}.

Rep(z),z≥α‖z‖2cosβ⟺Req(z),z≥0,

Req(z0),z0=0,Req(z),z>0,‖z‖<‖z0‖,

(2)

其中

s=Imq(z0),z0/‖z0‖2.

因为p(z)=q(z)+αzcosβ, 所以

2αz0cosβ=(m+2αcosβ)z0.

(3)

又因为p(z)=e-iβDf(z)-1f(z), 则

Df(z)-1D2f(z)(p(z),·)=e-iβI-Dp(z).

取z=z0, 则

Df(z0)-1D2f(z0)(p(z0),z0)=e-iβz0-Dp(z0)z0.

将上式两边同时与z0作内积, 结合式(3)，得

e-iβ‖z0‖2-(m+2αcosβ)‖z0‖2+z0,p(z0).

令w0=p(z0), 则w0≠0，由式(2)可得

α‖z0‖2cosβ,

所以

(m+2αcosβ)‖z0‖2+Rez0,p(z0)≥‖z0‖2cosβ+

α‖z0‖2cosβ=(1-α)cosβ+

‖z0‖2=(1-α)cosβ+

ReDf(z)-1D2f(z)(w,z),z<(1-α)‖z‖2cosβ,

则f为Bn上的α次殆β型螺形映照.

在定理1中分别取β=0，α=0和α=β=0,可得到下面的3个推论.

则f是Bn上的α次殆星形映照.

则……