陈东青，何斌，刘立红

(军械工程学院 基础部，河北 石家庄 050003)

研究报告

Banach空间中k-渐近拟伪压缩映像不动点的迭代算法

陈东青，何斌，刘立红

(军械工程学院 基础部，河北 石家庄 050003)

在严格拟伪压缩映像不动点的迭代算法基础上，给出了Banach空间中渐近k-拟伪压缩映像不动点的迭代算法，改进了算法，并证明了一个强收敛定理，扩展了已知的相关结果.

Banach空间；渐近k-拟伪压缩映像；广义投影算法；不动点

2010年，周海云和高兴慧[1]给出了Banach空间中严格拟伪压缩映像T不动点的迭代算法：

(1)

并且证明了下面的强收敛定理.

定理1 设X是自反的严格凸并且光滑的Banach空间，空间X及其对偶空间X*都具有性质(K)，C是X的非空闭凸子集.T：C→C为严格拟伪压缩映像.{xn}由迭代格式(1)生成，其中k∈[0,1)，则序列{xn}强收敛到某一点p0=ΠF(T)(x0).

在文献[1]的基础上，引进K-渐近拟伪压缩算子，并修正了迭代算法，证明了在自反的、严格凸、光滑的Banach空间中， 渐近拟伪压缩映像不动点迭代算法的强收敛定理.

1 预备知识

J(x)={j∈X*:〈x,j〉=‖x‖2=‖j‖2},∀x∈X.

(2)

注1[2]在自反的、光滑的Banach空间X中，J:X→2X*映像为单值的、次连续的满值映像.

定义1[3]设X是实光滑的Banach空间，C是X的非空闭凸子集.定义泛函

ø(x,y)=‖x‖2-2〈x,Jy〉+‖y‖2,x,y∈X.

根据ø的定义，可以得到以下结论：

1)(‖x‖-‖y‖)2≤ø(x,y)≤(‖x‖+‖y‖)2；

(3)

2)ø(x,y)=ø(x,z)+ø(z,y)+2〈x-z,Jz-Jy〉.

(4)

定义2[1]设X是实自反、光滑、严格凸的Banach空间，C是X中的一个非空闭凸子集，广义投影算子ΠC:x→C定义为：ΠC(x)={x0∈C:ø(x0,x)=min(z,x),z∈C}.

当X=H为Hilbert空间时，ΠC=PC为H到C的距离投影算子.

注2 对于∀x∈X，存在唯一的x0∈C，满足ø(x0,x)=min{ø(z,x),z∈C}.

注3 若X是自反的严格凸且光滑的Banach空间，对于∀x,y∈X，ø(x,y)=0当且仅当x=y，并由此可得，〈x,Jy〉=‖x‖2=‖y‖2.

ø(p,Tnx)≤knø(p,x)+kø(x,Tnx).

(5)

当k=0时，T为渐近拟非扩张映像.

注4 关于性质(K)的更多内容，可详见参考……