杨 帆

(南京财经大学 应用数学学院, 江苏 南京 210046)

K-迭代函数系的若干性质

杨 帆

(南京财经大学 应用数学学院, 江苏 南京 210046)

由一族Kannan映射可以构成一个K-迭代函数系(KIFS),Sahu已经证明了该KIFS有唯一的吸引子. 本文在此基础上研究含参量KIFS吸引子在Hausdorff度量下关于参数的连续依赖性,并讨论KIFS的拼贴性质.

K-迭代函数系; 参数的连续依赖性; KIFS拼贴性质

0 引言

1969年Kannan定义了一个新的映射——Kannan映射[1],它与一般意义上的压缩映射相比具有更宽广的条件.Kannan映射的不动点具有一些特殊的性质,许多学者对此进行了研究.文[2]研究了Kannan映射和Lipschitz映射存在不动点的条件.文[3]研究了Lipschitz型和Kannan型映射的不动点及迭代逼近的性质.Sahu等[4]利用Kannan映射构造了一个K-迭代函数系(KIFS),并证明了该KIFS在一定的条件下存在唯一的吸引子.本文将在此基础上研究含参量KIFS的吸引子在Hausdorff度量下关于参数的连续依赖性,并讨论KIFS的一个拼贴性质.

1 K-迭代函数系及其关于参数的连续依赖性

设(X;d)是一个完备的度量空间.对于映射f:X→X,若存在一个实数α(0lt;αlt;1/2),使得对所有x,y∈X,有

d(f(x),f(y))≤α[d(x,f(x))+d(y,f(y))]

(1)

则称f为X上Kannan映射,称α为Kannan映射f的K-压缩因子.

设fn,n=1,2,…,N,是一族Kannan映射,αn为fn的K-压缩因子,则称{X;fn,n=1,2,…,N}是一个K-迭代函数系.

设H(X)是由X的所有非空紧子集构成的集族,在H(X)上定义Hausdorff度量h如下:

引理1[4]设fn:X→X,n=1,2,…,N,是一族连续的Kannan映射,fn的K-压缩因子分别为αn,n=1,2,…,N.则映射F:H(X)→H(X):

是完备度量空间(H(X);h)上的连续Kannan映射,且其K-压缩因子为α=max{α1,α2,…,αN},它存在唯一的不动点(吸引子)A∈H(X),满足:

(2)

根据引理1,我们得到一个类似于式(1)的不等式:

h(F(B),F(C))≤α[h(B,F(B))+h(C,F(C))],∀B,C∈H(X)

(3)

设(Λ;dΛ)为度量空间,映射fn:X×Λ→X,n=1,2,…,N满足下列条件:

1) 对……