尚朝阳

(南京财经大学 应用数学学院， 江苏 南京 210046)

关于上(下)半连续函数的讨论

尚朝阳

(南京财经大学 应用数学学院， 江苏 南京 210046)

给出了拓扑空间上的上(下)半连续函数的概念及其等价命题,证明了上(下)半连续函数的一些基本性质, 最后介绍常用的Hardy-Littlewood极大函数的下半连续性以及弱下半连续泛函.

拓扑空间; 上(下)半连续; 极大函数; 泛函

0 引言

函数的连续性在分析学中有着重要的理论意义和应用价值,而如今人们对函数的连续性已经了解得较为透彻.在连续函数的理论及其应用的推动下,一些学者纷纷将连续的条件进行减弱,并且在此基础上得出了许多漂亮和有用的结果,如函数的上(下)半连续性和泛函的弱上(下)半连续性等等. 函数的上(下)半连续性在广义函数理论、积分理论以及凸分析等很多研究领域有着广泛的应用[1,2]. 然而泛函的弱上(下)半连续性在极值理论中也有许多应用[3], 尤其重要的是在著名的Ekeland变分原理[3]及Caristi不动点定理[3]等方面的应用. 本文在文献[4,5]的基础上讨论一般拓扑空间中上(下)半连续函数的几个等价命题、四则运算性质、有界性、保半连续性以及半连续函数都可以用一致连续函数进行单调逐点逼近. 最后我们还介绍常用的Hardy-Littlewood极大函数的下半连续性和弱下半连续泛函,以及上(下)半连续函数的例子.

1 上(下)半连续性的概念和等价命题

定义1 设X是一个拓扑空间,f:X→R是定义在X上的一个实值函数,x0∈X,称f(x)在x0处上半连续,如……