吴以立, 王晓晶

(淮阴师范学院 数学科学学院, 江苏 淮安 223300)

含参量曲线积分

吴以立, 王晓晶

(淮阴师范学院 数学科学学院, 江苏 淮安 223300)

在含参量正常积分的基础上给出了含参量曲线积分的概念、性质,主要给出了含参量曲线积分可积的充要条件、含参量曲线积分的连续性、可微性、可积性,以及含参量曲线积分与三重积分可交换的条件.

含参量曲线积分; 连续性; 可积性

0 引言

许绍溥等[1-2]给出了含参量积分的概念、性质,以及含参量积分的连续性、可积性、可微性.于兴江[3]讨论了含参量曲面积分的概念、性质,以及含参量曲面积分的连续性、可积性、可微性.赵清理[4]等讨论了无穷曲线上的积分及其性质.受文[3-4]的启发,本文给出了含参量曲线积分的概念:

定义1(含参量曲线积分的定义) 设U⊂R3,V⊂R3均为三维区域,D=U×V⊂R6为六维区域,函数f(x,y,z,u,v,w)在D上连续且有定义,设L是U内的光滑曲线,若(u,v,w)∈V时,函数f(x,y,z,u,v,w)在L上可积,则称此积分为含参量曲线积分,记为

接着又讨论了含参量曲线积分的性质,主要得到了含参量曲线积分可积的充要条件、含参量曲线积分的连续性、可积性、可微性,以及含参量曲线积分与三重积分的可交换条件.

1 性质

类似于含参量正常积分和含参量反常积分,我们很容易推导出含参量曲线积分的一些基本性质.

即

其次我们证明

即

综合以上,性质1立即得证.

则当‖T‖→0时有‖Ti‖→0,且有

从而性质2得证.

证明由于在D=U×V上

f(x,y,z,u,v,w)≤g(x,y,z,u,v,w),

从而对L的任意分割T总有

令‖T‖→0得

证明利用性质3,性质4可以类似证明……