王 悦

(1.宁夏大学 数学计算机学院,宁夏 银川 750021; 2.淮阴师范学院 数学科学学院,江苏 淮安 223300)

涉及Fibonacci数和Lucas数的多重卷积公式

王 悦1,2

(1.宁夏大学 数学计算机学院,宁夏 银川 750021; 2.淮阴师范学院 数学科学学院,江苏 淮安 223300)

Fibonacci数; Lucas数; 幂级数; 多重卷积

0 引言

所谓Fibonacci数和Lucas数是指满足如下递推关系[1]

Fn=Fn-1+Fn-2,F0=0,F1=1,n=2,3,…,

Ln=Ln-1+Ln-2,L0=2,L1=1,n=2,3,…,

设N为正整数集,σ(m,l)的定义如下:

σ(m,l)={(n1,n2,…,nl)∈Nl|n1+n2+…+nl=m}.

Chu[2]和Liu[3]中分别得到了关于{Fn},{Ln}的卷积:

(1)

(2)

这里,s(k,l)是第一类Stirling数,S(k,l)是第二类Stirling数. 由文[4],所谓第一类Stirling数是指设x为实变元,令

(x)0=1,

(x)n=x(x-1)(x-2)…(x-n+1) (n=1,2,…).

以第一类Stirling数s(n,k)表示(x)n的展开式中xk的系数,且令

其中,S(n,k)表示第二类Stirling数.

1 相关引理

为了证明文中的主要结论,首先引入两个引理

证明由Fibonacci数列的递推关系,有

Fn=Fn-1+Fn-2,F0=0,F1=1,

则

从而

即

令

则

即

证明由Lucas数列的递推关系,有Ln=Ln-1+Ln-2,L0=2,L1=1,

则

从而

即

则

即

2 主要结论

定理1 设m,l为正整数,则

其中t1+t2-t3-t4=m.

证明由引理1,有

由第一类Stirling数垂直发生函数[5],

(3)

其中[xm]f(x)表示f(x)中xm的系数,则

由(3)式知

故

其中t1+t2-t3-t4=m.

定理2 设m,l为正整数,则

其中t4-t1-t2-t3=m.

证明由引理2,有

则

由(3)式得

故

其中t4-t1-t2-t3=m.那么有

其中t4-t1-t2-t3=m.

[1]谭明术. 组合序列与矩阵[M].北京:科学出版社,2008.

[2]Chu W C.Roberta R. Two multiple convolutions on Fibonacci-Like sequences[M]. The Fibonacci Quarterly,2010,80-84.

[3]Liu G D. An identity involving the Lucas numbers and Stirling numbers[J].The Fibonacci Quarterly,2009,46(2):136-139.

[4]曹汝成. 组合数学[M].广州:华南理工大学出版社,2000.

[5]谭明术. 组合序列与矩阵[M].北京:科学出版社,2008.

[责任编辑：李春红]

InvolvingtheMultipleConvolutionFormulaofFibonacciNumberandLucasNumber

WANG Yue1,2

(1.School of Mathematics and Computer Science,Ningxia University,Yinchuan Ningxia 75000,China)

(2.School of Mathematical Science,Huaiyin Normal University,Huaian Jiangsu 223300,China)

fibonacci number; lucas number; power serues; multiple convolution

O177

A

1671-6876(2012)01-0017-05

2011-06-28

王悦(1987-),女,江苏宿迁人,硕士研究生,研究方向为计算数论.