基于MATLAB的常见断面收缩水深的计算方法

2012-10-24杨茂松马子普

黑龙江水利科技 2012年1期

杨茂松，汪清，马子普

(1. 中国水利水电第五工程局有限公司，成都610066;2. 河海大学水利水电学院，南京210098;3. 西北农林科技大学水利与建筑工程学院，陕西杨凌712100)

当水流经泄水建筑物下泄时，势能转化为动能，在建筑物下游某个过水断面流速达到最大，水深达到最小，这个最小的水深被称为收缩水深。明渠渠道收缩水深的计算是分析泄水建筑物下游的水流衔接形式、消能设计以及判定水跃位置的关键和前提，在水利工程中经常遇到。常见断面收缩水深的基本方程为高次隐函数方程，无法直接得出理论解，传统的计算方法包括试算法、图解法等，费时费力且精度不高。近十多年来，许多专家学者在计算断面的收缩水深方面做了大量的研究工作，他们的研究成果主要集中在两个方面:①基于无量纲原理，采用适当的数学变换得到收缩水深的直接计算公式［1－18］，②选取合理的初值采用迭代法求解断面收缩水深［19－23］。另外，也有部分研究者采用其他方法进行求解，如邹平桂［24］糅合了数学分析和迭代法的优点，根据求方程近似解的综合法公式确定了合理的收缩水深初值及其递推公式，金菊良等［25］应用加速遗传算法来计算溢流坝下游收缩断面水深，孙道宗等［26］采用增量调整法确定出合理的初值，变试算为直接计算。另外，我们可以注意到的一个突出特点是，这些探究收缩水深求解方法的研究成果主要集中于于矩形与梯形两种断面形式，而对于其他工程中也较为常见的断面形式，如圆形、平方及立方抛物线形等断面形式下的收缩水深研究较少。

MATLAB 具有很强的数据处理功能、灵活的插值方法、强大的图像显示和处理能力，是目前国际上最流行、应用最广泛的科学和工程计算软件。MATLAB 的这种独特优势使得到精确的收缩水深值成为可能，甚至得到比迭代或直接计算更精确的数值。然而，迄今国内在求解包括收缩水深在内的特征水深方面鲜见其应用。国内可见的较早报道采用MATLAB 语言编程计算过水断面的收缩水深是在2008年［27］，文中编程计算了包括收缩水深在内的梯形断面的四种特征水深。然而，其过程依然较为繁琐，尚有很大的改进空间。本文将充分发挥MATLAB 语言简单易懂的优势，采用非常简短的程序，通过具体实例，来编程求解梯形、圆形、平方抛物线形、立方抛物线形四种简单断面形式下的收缩水深。城门洞形、马蹄形、直边U 形均是由简单断面组合而成的的复合断面，其收缩水深的求解与简单断面收缩水深的求解类似，只是在求断面收缩水深前需要先求分界流量从而判定收缩水深所在深度范围，三角形断面可以看成是底边长度为0 梯形断面，矩形断面都可以看成边坡系数为0 的梯形断面，它们的断面收缩水深的求解都可通过梯形断面收缩水深变换得到，本文不再对这这些断面形式下的收缩水深进行编程求解。实例表明，MATLAB 语言编程求解过水断面的收缩水深，其过程简便易懂，结果精确。希望本文的方法有助于人们对MATLAB 求解思路的进一步认识，促进MATLAB 在水利工程中的推广与应用。

1 断面收缩水深的函数表达式

收缩水深的的基本方程为:

式中:E0为收缩断面底部为基准面的泄水建筑物上游总水头，m;hc为收缩断面水深; Q 为下泄流量，m3/s; g 为重力加速度，m2/s;φ 为流速系数;Ac为收缩断面面积，m2。

1.1 梯形断面收缩水深的函数表达式

过水断面面积计算公式为:

将式子(2) 带入(1) 可得到梯形断面收缩水深的的基本方程为:

式中:m 为边坡系数;b 为底边宽度，m。

1.2 无压流圆形断面收缩水深的函数表达式

收缩断面水深计算公式为:

过水断面面积计算公式为:

将式子(4) 、(5) 带入(1) 可得到无压流圆形断面收缩水深的的基本方程为:

式中:r 为半径，m;θ 为过水断面圆心角，rad。

1.3 平方抛物线形断面收缩水深的函数表达式

设平方抛物线方程为:

过水断面面积表达式为:

将式子(8) 带入(1) 可得到平方抛物线形断面收缩水深的基本方程为:

式中: p 为形状系数。

1.4 立方抛物线形断面收缩水深的函数表达式

设立方抛物线方程为:

过水断面面积为:

将式子(11) 带入(1) 可得到立方抛物线形断面收缩水深的基本方程为:

式中:p 为形状系数。

2 应用举例

2.1 梯形断面的收缩水深

以文献［12］为例，已知坝前断面总水头E0=10.31 m，通过流量Q=140 m3/s。梯形渠道底宽b=10 m，梯形边坡系数m=1，流速系数φ=0.95，求坝下断面收缩水深。

程序如下:

略去不合理的4个值，得收缩水深hc=0.991571 m。

2.2 无压流圆形断面的收缩水深

以文献［13］为例，已知坝( 闸) 前断面总水头E0=12 m，通过流量Q=200 m3/s，圆形断面直径d =15 m，流速系数φ=0.95，求坝( 闸) 后断面收缩水深。

先编程求解过水断面圆心角θ，程序如下:

即过水断面圆心角θ=1.536700089rad。

接下来编程求解收缩水深:

2.3 平方抛物线形断面的收缩水深

以文献［15］为例，已知坝前断面总水头E0=10.31 m，通过流量Q =140 m3/s，流速系数φ=0.95，若采用抛物线形断面，其方程为y=0.25x2，求坝下断面收缩水深h。

程序如下:

略去不合理的3个值，得收缩水深hc=2.7405 m。

2.4 立方抛物线形的收缩水深

以文献［17］为例，已知坝前断面总水头E0=10 m，通过流量Q =100 m3/s，流速系数φ=0.95，若采用立方抛物线形断面，其方程为y=0.40|X|3/2，求坝下断面收缩水深hc。

略去不合理的3个值，得收缩水深hc=2.24942 m。

3 精度分析与误差比较

实例所在文献中均比较了所用公式与精确值的相对误差，现将其与本文计算结果再进行比较，见表1。

表1 几种断面形式下收缩水深不同计算方法误差比较Tab.1 Error comparison between different calculation methods for contraction depth of several common sections

4 结论

应用MATLAB 语言，通过对梯形、圆形、平方抛物线形、立方抛物线形4 种断面形式下的收缩水深的编程计算可以看出，其过程简练，方法容易掌握。因它们都是直接采用理论公式进行计算，故精度非常高。MATLAB 作为一种强大的工程软件，其独特的优势当可使其在水利设计与计算中得到更多的推广和应用，并发挥更大的作用。

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