白玉梅

（内蒙古民族大学 数学学院，内蒙古 通辽 028043）

0 引言

构造微分系统的守恒律是数学物理研究的重要课题.守恒律反映物理量不随时间而改变的现象，在研究微分系统，尤其是可积系统和孤立子理论中发挥重要作用[1］.如利用守恒律获得微分系统的精确解、分析解的各种特性和构造Hamilton系统等.一般情况下，如果一个微分系统有孤立子解，则其存在无穷多个守恒律，拥有无穷多个守恒律的非线性微分系统可积；然而，没有无穷多个守恒律的微分系统仍可能可积，如Burgers方程.除此之外，守恒律被广泛应用于一些数值方法的发展上，如有限元法和非连续Galerkin方法.由此可见，寻找物理背景明确的非线性系统的守恒律十分必要.

以（1＋1）维非线性弹性波动方程、Brusselator方程组和（2＋1）维广义CBS方程作为研究对象，以符号计算软件Maple为工具，采用第一同伦公式法，分别构造这3个方程（组）的守恒律.

1 守恒律构造方法

构造微分系统守恒律的方法包括直接法[4］、标量公式法、第一同伦公式法[2-3］、第二同伦公式法、利用对称和共轭方程（组）法[5-7］、Lax对方法、迹恒等式法和Bäcklund变换法[8］等，文中采用第一同伦公式法.

设自变量x＝（x1，x2，…，xn），因变量u＝（u1，u2，…，um）.

步骤1 计算系统相应的n维欧拉算子

步骤2 计算n维拓扑算子

步骤3 由步骤2所得结果，得到通量进而通过全导数算子作用，得到形如的微分系统的守恒律.

2 构造非线性偏微分方程的守恒律

2.1 弹性波动方程

非线性弹性波动方程为

式中：γ为任意常数.文献[9］应用Lie对称法，在不同……