沈佳煜,高玉斌

(中北大学 理学院,山西 太原 030051)

0 引 言

一个实数 a的符号记为 sgn a,根据a＞0,a＜0或a=0,它们的符号分别定义为1,-1或0.一个实矩阵A的符号模式是将 A中的所有元素都换成它的符号后所得的符号矩阵,记为sgn(A).在文献 [1]中引入了一个新的符号 #来表示正负相加所得的未定元,集合Γ={1,-1,0,#}定义为广义符号集,运算法则如下:

设A=(aij)是一个n阶符号模式矩阵,A的伴随有向图 D(A)(可能含有环)是顶点集 V={1,2,… ,n}和弧集 E={(i,j)|aij≠0}的有向图,按照 A中 aij的符号,将 D(A)中的每一条弧分别规定符号所得的图称为 A的伴随定号有向图,表示为 S(A).因此符号模式矩阵和定号有向图之间存在一一对应的关系.本文中的一些定义、引理和文献,一部分是从符号模式矩阵去描述基或本原指数的性质,一部分是从定号有向图去描述基或本原指数的性质等,当哪个方面更有助于研究就从哪个方面去入手,其本质上都是一样的.

设 A是非负矩阵,若存在正整数 k,使得Ak＞0,则称 A是本原矩阵.设 A是一个n阶符号模式矩阵,A,A2,A3,… 是A的幂,假定Al是序列中第一个重复的幂,即假定 l是最小的正整数且有一个最小的正整数 p使得 Al=Al+p,则称l为A的基,用 l(A)表示.如果 A的每次幂都不包含# 元素,则称 A为可幂的;如果 A是本原的,则 S(A)也是本原的;若是 A可幂的,则S(A)也是可幂的.

一条定号有向图中的途径 W是由一些弧有序排列成的,e1,e2,… ,ek,其中 ei的终点和 ei+1的起点相同,i=1,…,k-1,k是 W的长度,记为l(W).途径的符号定义为sgn W.一个定号有向图的两条途径 W1和 W2被称为 SSSD途径对,如果他们有相同的起点和终点,长……