耿 济

(海南大学，海南海口570228)

本文是数学娱乐［1～10］的续作，应用线性代数方法探讨幻方.

1 洛书与线性方程组

中国古书《易经》中的洛书是世界上最古老的幻方，现在用矩阵表示

其中，1，3，5，7，9原来用小白点的数目表示，把奇数代表阳;2，4，6，8 原来用小黑点的数目表示，把偶数代表阴，这与阴阳学说有关.考古学上发现的“奇字”是6位数字，正是《易经》卦象的起源［8］.由此可见，洛书在《易经》中具有特殊和重要的地位.

洛书在数学上具有2个基本性质.

加法性质 每行、每列、左右对角线上3个数字和等于15.

乘法性质 每行3个数字相乘，3个乘积相加等于每列3个数字相乘，3个乘积相加［3］.

洛书与线性方程组有下述关系.

设 x1，x2，x3，…，x9是 1，2，3，…，9 的某种排列，下列矩阵为

要求A中每行、每列、左右对角线上相加等于15，试求x1，x2，x3，…，x9正整数解.

这一问题含有9个未知量，从要求中知道有8个方程，实际上还有9个未知量相加等于45，总共有9个方程，这是一个9个未知量、9个方程的线性方程组求解的问题.

线性代数在理论上提出判别线性方程组有没有解的方法，应用上提出使用计算机求解的方法，因此，近代科技上应用广泛.

已知线性方程组

求解时，首先写出线性方程组未知量的系数以及常数项的矩阵B，称B为增广矩阵;其次对B施行初等行变换，即下述3种变换:

1)B 中对调 i，j两行，记作 ri↔rj;

2)以数k≠0乘B中i行，记作kri;

3)把B中j行的k倍加到i行上，记作ri+krj.

最后经过一系列的矩阵初等行变换，把B变成标准形式

由此得出等价的线性方程组，即得通解的结果.

从已知线……