唐加冕，冯文莉，李伟才

（石家庄学院数学与信息科学系，河北石家庄050035）

基于模糊二元运算的模糊群的同态

唐加冕，冯文莉，李伟才

（石家庄学院数学与信息科学系，河北石家庄050035）

文献［1］给出一种新的模糊二元运算，利用这种运算导出集合G中元素间的一种运算（仍称之为模糊二元运算），然后给出模糊群的定义。在模糊群之间引入了同态的概念，并给出了这种模糊群同态基本定理。

模糊二元运算；模糊群；同态

1 模糊二元运算和模糊群定义

定义1.1［1］设λ∈（0，1），G为一个非空集合，f为G×G到G上的一个模糊关系，若

1）∀a，b∈G，∃c∈G，使f（a，b，c）＞λ

2）∀a，b∈G，∀c1，c2∈G，f（a，b，c1）＞λ，且f（a，b，c2）＞λ⇒c1＝c2，则称f为G上一个模糊二元运算。

设f为G上一个模糊二元运算，则f可导出一个映射

当A＝｛a｝，B＝｛b｝时，f（A，B）简记为a◦b，则

这样，∀A，B∈G，则a与b之间便定义了一种运算，由于是模糊运算，所以a◦b为G的一个模糊集。显然，有以下结论：

定义1.2［1］设G为非空集合，f为G上一个模糊二元运算，若

1）（（a◦b）◦c）（z1）＞λ且（a◦（b◦c））（z2）＞λ⇒z1＝z2，则称◦满足模糊结合律

2）∃e∈G，使（e◦a）（a）＞λ，且（a◦e）（a）＞λ，∀a∈G，则称e为G的一个单位元

3）∀a∈G，∃b∈G，使（a◦b）（e）＞λ，且（b◦a）（e）＞λ，则称b为a的一个逆元，若◦满足1）－3），则称G为一个模糊群，记作（G，◦，F（G））。

2 模糊群的性质

设（G，◦，F（G））为一个新模糊群，则

1）G的单位元e为唯一的

2）（a◦a）（a）＞λ⇒a＝e

3）（a◦b）（d）＞λ且（a◦c）（d）＞λ⇒b＝c

4）（b◦a）（d）＞λ且（c◦a）（d）＞λ⇒b＝c

5）∀a∈G，a的逆元为唯一的（将a的逆元记作a－1）

6）（a－1）－1＝a

7）（b－1◦a－1）（c）＞λ且（a◦b）（d）＞λ⇒c＝d－1

3 模糊群的同态

定义3.1 设（G1，f1），（G2，f2）为两个新模糊群，φ∶G1→G为一个映射，如果当f1（a，b，c）＞λ时有f2（φ（a），φ（b），φ（c））＞λ，则称φ为一个同态；若φ为单（满，双）射，则称φ为单一（满，同构）同态。

命题3.1 设（G，f）为一个新模糊群，H为G的正规子模糊群，（G／H，为G关于H的商模糊群，则ψ：G→G／H a→［aH］是一个同态，称ψ为自然同态。

命题3.2 设φ∶G1→G2为同态，则

1）φ（e1）＝e2

2）φ（a－1）＝（φ（a））－1

定理3.1 设φ：G1→G2为同态，则有

1）若H1为G1的子模糊群，则φ（H1）为G2的子模糊群

2）若H2为G2的子模糊群，则φ－1（H2）为G1的子……