王新慧，刘海鸿

(云南师范大学数学学院，云南昆明650092)

具有抑制作用和离散时滞的捕食系统的Hopf分岔分析

王新慧，刘海鸿

(云南师范大学数学学院，云南昆明650092)

研究了一类具有抑制作用和离散时滞的捕食－食饵模型，通过分析该模型在正平衡点的线性化方程及其相应的特征方程，研究了正平衡点渐近稳定性并证明了Hopf分岔的存在.通过应用规范型理论和中心流形定理，得到了确定Hopf分岔方向和分岔周期解的稳定性计算公式.最后，利用数值模拟验证了研究结果.

Lotka－Volterra捕食－食饵系统;离散时滞;稳定性;Hopf分岔;周期解;抑制作用

当F(s)，G(s)取不同形式时，很多学者已经做了广泛的研究［3－11］，例如，F(s)=G(s)=δ(s)时(δ为Dirac delta函数)，Chen［3］，Zhang［11］等研究指出系统(1)正平衡点的存在性暗示了它的全局稳定性.1973年May［12］首次提出并讨论了当系统(1)F(s)=δ(s－τ)，G(s)=δ(s)时的带有单个离散时滞的捕食－食饵模型:

Song和Wei［6］研究了系统(2)把τ作为分岔参数时τ对动力系统(2)的影响.F(s)=δ(s－τ)，(τ≥0)，G(s)=δ(s－η)(η≥0)时，(1)转化为如下形式:

Faria［4］，Ruan［5］，Yan和Chu［8］，He［13］，Lu和Wang［14］分别对(3)做了不同的研究.

其中，x(t)，y(t)分别表示食饵、捕食者种群的密度;k1＞0，k2＞0为食饵的增长率和捕食动物的死亡率，参数α1，α2，β12，β21，γ1均为正常数.本文研究了时滞τ对系统(4)的影响.通过研究发现时滞能导致捕食－食饵系统产生震荡.所以，由产生毒素而出现的捕食时滞会影响不同捕食模型的种群密度，从而影响季节繁殖、生长.因此对此问题的研究具有重要的意义.经过查阅大量文献还没发现从此角度考虑的研究.

1 正平衡点的稳定性和Hopf分岔的存在性

通过计算，当条件H1):k1α2＞k2α1成立时，式(4)存在唯一正平衡点E(x*，y*)，其中，