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CAT(0)空间中平均非扩张映射不动点的存在性定理及其半闭原理*

2012-09-17崔云安

关键词:空子不动点定理

崔云安,周 晶

(哈尔滨理工大学)

1 预备知识

定义1.1 设C是度量空间(M,d)的一个非空子集.映射T:C→C被称为非扩张的是指:对所有x,y∈C,

定义1.2 设C是度量空间(M,d)的一个非空子集.称映射T:C→C是平均非扩张的,是指:对任意a,b≥0,a+b≤ 1,

成立,其中x,y∈C.

很明显,非扩张映射是平均非扩张映射的一种,但是平均非扩张映射不一定是非扩张的,因为平均非扩张并不能保证映射的连续性.

例 假设映射T:[0,1]→[0,1]有如下定义

那么T是满足的平均非扩张映射.但是T在处不连续,因此T并不是非扩张映射.

在众多的关于非扩张映射的研究中,其中一个十分重要的且值得庆祝的结果就是1968年由Browder提出的半闭原理[1].

定义1.3 如果X是一致凸Banach空间,C是X的一个非空子集,T:C→X是非扩张映射,那么对每个y∈X,称Ⅰ-T是半闭的,是指:若{xn}⊂C满足及(Ⅰ-T)xn→y,则(Ⅰ-T)x=y,此处Ⅰ是X到其自身的恒同算子.

2008 年,Suzuki[2]引入了 Banach 空间中的Suzuki广义非扩张映射.

定义1.4 设C为(M,d)的一个非空子集.称映射T:C→C是Suzuki广义非扩张的,是指:对于所有x,y∈C,如果,那么则有

2 主要定理

定义2.1 设Δ是M中的测地三角形,为Δ的比较三角形.称测地空间M为CAT(0)空间,是指:M中任意的测地三角形都满足CAT(0)不等式,即对∀x,y∈Δ,以及比较点∈,都有

CAT(0)空间是凸的度量空间,是指:对∀x,y∈M及t∈[0,1],存在唯一的一点z∈[x,y],满足d(x,z)=td(x,y),d(y,z)=(1-t)d(x,y).为方便起见,记上式中的z为(1-t)x⊕ty.如果M为CAT(0)空间,则对任意的x,y,z∈M,及t∈[0,1],都有

同时,CAT(0)不等式蕴含着

这就是由 Bruhat和 Tits[3]提出的著名的(CN)不等式.事实上,测地空间M为CAT(0)空间的充要条件是M满足(CN)不等式.2005年至2010年,关于CAT(0)空间中的单值和集值映射的不动点问题的新结果不断涌现[4-8].

定理2.2 设(M,d)是一个完备的CAT(0)空间,C是M的一个非空有界闭凸子集.则满足b<1的平均非扩张映射T:C→C有不动点.

证明 对任意y∈C,考虑

易知,diam(C)∈By,因此By非空.令βy:=infBy,则对任意θ>0,存在bθ∈By满足

bθ<βy+θ,从而存在x∈K以及k∈ℕ 满足

显然,βy≥0.下面分两种情况进行讨论:

情况1βy=0.

令ε>0.在式(2)中取θ=ε/2,则存在x∈C及k∈ℕ,满足对∀m,n≥k,d(Tn,Tmy)≤

因此,序列{Tny}是基本列,利用C的完备性知,序列{Tny}收敛于某个元z∈C.显然,z是一个不动点.

情况2βy>0.

对任意n≥1,定义在式(2)中取,那么存在

x∈C及k≥1,满足因此Dn非空.进一步,{Dn}是M中非增的非空有界闭凸集.因为CAT(0)空间具有非空交性质,所以.对任意的x∈D,易知

接下来,将证明对任意x∈D,{Tnx}是一个基本列.否则,存在ε0>0及N0∈ℕ,使得

对上述ε0,取θ>0使得

利用式(3),存在K∈ℕ,使得

对任意给定的i,j≥N0,i≠j,结合式(6)以及T是平均非扩张的,对m>i+K,

其中,C(i,r)表示从i中取出r个元素的组合数.同理可知,对任意m>j+K,有d(Tjx,Tmy)≤βy+θ.因此,结合(CN)不等式以及(4)式和(5)式,有

令z:,从而上述不等式对所有足够大的m均成立.由βy的定义βy=infBy,产生矛盾.

因此,对任意元x∈D,{Tnx}是一个基本列.利用M的完备性知,存在v∈C使得.最后,再次利用平均非扩张映射的定义,得到

对上式两边同时取极限,有d(v,Tv)≤

bd(v,Tv).因为b<1,从而有v=Tv,即v是T的一个不动点.

接下来证明CAT(0)空间中平均非扩张映射的半闭原理,在证明前首先需要定义以下符号:

其中,C是包含有界序列{xn}的闭凸集且

定理2.3 设(M,d)是一个完备的CAT(0)空间,C是M的一个非空有界闭凸子集.映射T:C→C是满足b<1的平均非扩张映射.{xn}是C中的一列渐近不动点序列,即0并且那么T(w)=w.

证明 因为{xn}是一列渐近不动点序列,所以对∀m>1,

从而,对∀x∈C,有Φ(Tmx)≤Φ(x)成立.采用数学归纳法.事实上,当m=1时,根据平均非扩张映射的定义以及(6)式,可得Φ(Tx)=

因此,Φ(Tx).可知,a+b≤1蕴含着Φ(Tx)≤Φ(x).假设,对任意的正整数k<m,Φ(Tnx)≤Φ(x)均成立.那么

其中,C(m,r)表示从m中取出r个元素的组合数.因此,a+b≤1蕴含着Φ(Tmx)≤Φ(x).特别地,有

如果{Tmw}不含有按模收敛的子列,故能找到ε0>0,使得

对上述ε0>0,取θ>0有

由Φ的定义及(8)式知,存在N,M∈ℕ,使得对∀m≥M,∀n≥N都有

因此,结合(CN)不等式,(9)及(10)式,对任意的m1,m2≥M,可得

令z,那么z∈C并且z≠w.但是,产生矛盾.从而{Tmw}包含按模收敛子列,记为设那么

对上式两边同时取极限,有d(w,Tw)≤bd(w,Tw).因为b<1,可得w=Tw.所以w是T的一个不动点,即

[1] Browder F E.Semicontractive and semiaccretive nonlinear mappings in Banach spaces.Bull Am Math Soc,1968,74:660-665.

[2] Suzuki T.Fixed point theorems and convergence theorems for some generalized nonexpansive mappings.J Math Anal Appl,2008,340:1088-1095.

[3] Bruhat F,Tits J.Groupes R'eductifs Sur un Corps Local.I.Donn'ees Radicielles Valu'ees[J].1972,41:5 – 251.

[4] Bridson M,Haeiger A.Metric spaces of non-positive curvature. Grundlehren derMathematischen Wissenschaften.Springer,Berlin,1999.319.

[5] Dhompongsa S,Kaewkhao A,Panyanak B.Lim’s Theorems for Multivalued Mappings in CAT(0)Spaces[J].J Math A-nal Appl,2005,312(2):478–487.

[6] Dhompongsa S,Kirk W A,Sims B.Fixed Points of Uniformly Lipschitzian Mappings[J].Nonlinear Anal,2006,65(4):762–772.

[7] Dhompongsa S,Kirk W A,Panyanak B.Nonexpansive Setvalued Mappings in Metric and Banach Spaces[J].J Nonlinear Convex Anal,2007,8(1):35–45.

[8] Nanjaras B,Panyanak B.Demiclosed Principle for Asymptotically Nonexpansive Mappings in CAT(0)Spaces[J].Fixed Point Theory Appl,2010,Article ID 268780:14.

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