马凤敏，吴晓春，张 伟，张庆成

（1.河北工业职业技术学院基础部，河北 石家庄 050000；2.东北师范大学数学与统计学院，吉林 长春 130024）

1 预备知识

对于一个图G（V，E），如果对每一个v∈V（G），存在一个非负整数g（v）（称为顶点v的标号）满足：（1）max｛g（v）｜v∈V｝＝｜E（G）｜；（2）∀u，v∈V，如果u≠v，则g（u）≠g（v）；（3）∀e1，e2∈E（G），如果e1≠e2，则g＊（e1）≠g＊（e2），其中g＊（e）＝｜g（u）－g（v）｜，uv＝e（称为由g导出的边标号），则称G为优美图，称g为G的一个优美值或优美标号.设Pn是一个n长路，其上的点依次为v0，v1，…，vn，a和b是非负整数，若Pn的优美标号g 满足g（v0）＝a，g（vn）＝b，则称g是Pn的一个（a，b；n）－优美标号，记为g（a，b，n），称Pn是（a，b；n）－优美的.

优美标号的概念是由Golomb在文献［1］中给出的.由于应用范围的广泛性，许多学者做了大量的研究工作，已有详尽的研究成果［2］.2004年，P.Gvozdjak在文献［3］中为了解决著名的Oberwolfach问题，提出（a，b；n）－优美猜想：路Pn是（a，b；n）－优美的当且仅当非负整数a，b，n满足：（1）b－a与n（n＋1）／2有相同的奇偶性；（2）0＜｜b－a｜≤（n＋1）／2；（3）n／2≤a＋b≤3n／2.

该猜想的必要性已由P.Gvozdjak在文献［3］中给出.关于充分性，文献［3］对n≤20的情况验证成立.a＝0的情况，S.M.Lee等人在文献［4］给出.a＝1，2的情况由文献［5］解决了.a＝3的情况我们已另文证明.本文则证明了a＝4时，（a，b；n）－优美猜想成立.

为方便我们约定，Z表示整数集，Z［m，k］＝｛x∈Z｜m≤x≤k｝，当k＞m 时，记Z［m，k］＝∅.

2 结果及证明

我们首先利用非负整数a，b，n满足（a，b；n）－优美猜想条件，把n和b进行分类.

引理2.1 当a＝4，非负整数a，b，n满足（a，b；n）－猜想条件，则

n≥16，b＝（n－7）／2或b＝（n－3）／2或b＝（n＋1）／2或b＝（n＋5）／2或b＝（n＋9）／2.

引理2.2 当a＝4，n为偶数时，该猜想成立.即对满足猜想条件的b和偶数n，Pn是（4，b；n）－优美的.

证明思路是将部分特殊值具体标出，一般情形对n分情况进行处理.

证明 a＝4.

当n≥16时，把n分成5种情况讨论：

情形1 当n≡0（mod 10）.

当n≥40时，我们定义v1，v2，…，v10（3＋m）的优美标号g如下：

（1）当b＝（n－8）／2，m＝n／10－4，我们定义vn－9，vn－8，…，vn＋1的优美标号g如下：

（2）当b＝（n－4）／2，m＝n／10－4，我们定义vn－9，…，vn－8，vn＋1的优美标号g如下：

（3）当b＝n／2，m＝n／10－4，我们定义vn－9，vn－8，…，vn＋1的优美标号……