张 平 张小华

（三峡大学理学院，湖北宜昌 443002）

Mathematica在Fourier级数分析中的应用

张 平 张小华

（三峡大学理学院，湖北宜昌 443002）

文章用Mathematica实现了函数展开成Fourier级数及其图形演示,将抽象的教学概念和复杂的过程用软件来实现，从而降低教学问题的难度，增强学生学习高等数学的兴趣和积极性．

Mathemtica；Fourier级数；图形演示

1 引 言

Fourier级数是高等数学中的重要内容之一，同时也是其它后续课程的重要工具之一．如果在教学过程中只是简单介绍函数展开成Fourier级数，笔者发现学生很难理解一个周期函数为什么可以用一系列三角函数来逼近它？从而无法理解函数展开成Fourier级数的意义．同时尽管函数展开成Fourier级数的公式形式简单，含义明确，但即使对一些简单的周期函数，学生应用公式求其Fourier级数时常常面临较大的计算量，往往需要花费很多的时间．Mathematica是当今世界上优秀的数学软件之一，具有强大的数值计算、符号计算和函数绘图等功能，[1]且其界面友好，容易操作，学生可以在很短时间内掌握其使用方法．本文利用Mathemtica的符号计算功能，实现了周期函数的Fourier级数展开，将学生从繁重的手工计算中解脱出来，同时通过绘图，将抽象的理论与具体的图像演示结合，使学生能更深刻的理解函数展开成Fourier级数的基本概念和基本方法．

2 基于Mathematica的Fourier级数分析和应用举例

对一个周期为2π的周期函数f(x)，只要该函数满足狄利克雷（Dirichlet）条件，便可展开成一个收敛的Fourier级数，即：[2]

其中

在早期的Mathematica版本中，没有提供直接计算傅里叶级数的函数，只能借助函数NItegrate利用上述的Fourier级数展开公式编写相应的计算函数，[3]但程序编制比较复杂，且无法直接给出Fourier级数的展开形式．从Mathematica7.0开始，Mathemtica全面覆盖数值和符号Fourier分析，对于函数展开成Fourier级数而言，Mathematica主要提供了如下的一些函数：

FourierSeries——给出复数形式的Fourier级数展开式；

FourierTrigSeries——给出Fourier三角级数展开式；

FourierSinSeries——给出Fourier正弦级数展开式；

FourierCosSeries——给出Fourier余弦级数展开式．

利用这些函数可以直接得到函数的Fourier级数展开式．考虑到在教学过程中，对一个周期函数，一般得到是非复数形式的Fourier级数展开式，所以下面举例中就不考虑FourierSeries在Fourier级数分析中的应用．

例1 设f(x)是周期为2π的周期函数，它在[-π,π]上的表达式为

将f(x)展开成Fourier级数．

Mathematica程序代码如下：

此程序的第1句给出了函数f(x)的定义；第2句画出函数f(x)的图形；第3句输入需要将函数f(x)展开至Fourier级数的第i阶；第4句将函数f(x)展开至Fourier级数的前i阶；第5句画函数f(x)的Fourier级数的前i阶对应的图形；最后一句把以上各图形显示在一起．运行上述程序可以得到一系列Fourier级数的部分及其图形．由函数展开成Fourier级数的计算公式知，当f(x)为奇函数时，其Fourier级数只会含有正弦项．如当输入5时，得到的Fourier级数展开式的前5阶部分和表达式为

由此可知，利用Mathematica计算的结果与手工计算结果完全一致，且得到的结果是精确的符号表达式结果．图1给出了函数的图形及其Fourier级数的前5阶、20阶和40阶对应的图形．从图中可以看出，随着Fourier级数阶数的增加，其振幅越来越小，角频率越来越大，它越来越接近要表示的周期函数．这表明，一个比较复杂的周期运动可以看成是许多不同频率和振幅的简谐振动的叠加．从数学上讲，即为一个周期函数可以用一系列三角函数来逼近它．

图1 例1的Fourier级数对函数的逼近效果

例2 设f(x)是周期为2π的周期函数，它在[-π,π]上的表达式为

将f(x)展开成傅里叶级数．

运行上述程序，当输入4时，得到该函数Fourier级数展开式的前4阶部分和表达式为

由于本例中的函数在定义域中为非奇非偶函数，所以其展开成Fourier级数时会同时含有正弦项和余弦项，且上述程序运行结果与文献[2]理论计算结果一致，从而说明利用Mathematica软件来计算函数的Fourier级数非常方便．图2给出了函数的图形及其Fourier级数的前4阶、10阶和20阶对应的图形．由图可见，函数的Fourier级数随着阶数的增加，图像愈来愈逼近函数的图像，从而再次说明一个周期函数可以通过一系列三角函数来表示它．

图2 例2的Fourier级数对函数的逼近效果

例3 设f(x)是周期为2π的周期函数，它在[0,π）上的表达式为f(x)=x，将f(x)分别展开成正弦级数和余弦级数．

由Fourier级数分析的相关理论知，当周期函数为奇函数时，它的Fourier级数只含有正弦项，即正弦级数；当周期函数为偶函数时，它的Fourier级数只含有余弦项，即余弦级数．所以在本例中，我们首先要将函数进行奇延拓和偶延拓．函数展开成正弦级数的Mathematica程序代码如下：

运行上述程序，当输入7时，得到该函数Fourier级数展开式的前7阶部分和表达式为：

图3给出了函数的图形及其Fourier级数的前3阶、7阶和50阶对应的图形．

图3 函数展开成正弦级数对函数的逼近效果

函数展开成余弦级数的Mathematica程序代码如下：

运行上述程序，当输入7时，得到该函数Fourier级数展开式的前7阶部分和表达式为：

图4给出了函数的图形及其Fourier级数的前3阶、5阶和9阶对应的图形．由图3和图4可见，随着三角多项式的阶数增加，三角多项式的曲线越来越接近函数的图形．通过这些实例表明，利用Mathematica可直观地展示Fourier级数去逼近周期函数，将抽象的问题形象化，从而化解了学生对Fourier级数表示周期函数理解上的困惑．

图4 函数展开成正弦级数对函数的逼近效果

3 结束语

在Fourier级数教学中引入数学软件Mathemtica，从教学内容、教学形式、教学方法和手段上讲，都是对传统数学教学的一种发展和补充．在教学过程中，老师摆脱了繁琐的数学计算，使得问题简单化、可视化；学生也从图形的变化、软件的计算等多方面对函数展开成Fourier级数进行学习，体验Fourier级数分析有关理论的基本思想，加深对抽象概念的感性认识，且增加学生实际动手操作能力的培养．数学软件Mathematica就像一座桥梁，将知识与应用，理论与实际连接起来，让学生加深感性认识，使教学变得轻松易懂，同时也逐步锻炼学生用数学理论、计算机知识来解决实际问题的能力，从而提高了学生自主学习数学的积极性和参与数学教学的目的．

[1]李建平，健民，刘雄伟，等.高等数学课程实验[M].北京：科学出版社，2011.

[2]同济大学数学系.高等数学：第六版[M].北京：高等教育出版社，2007.

[3]李文新.函数展开成Fourier级数的几何解释[J].江西教育学院学报，2005（3）:5-7.

（责任编辑：张新玲）

Abstract:In order to make students have direct perception and sophisticated understanding of Fourier series, the article presents the means to convert abstract math ideas and complicated process into software so that mathematics can be understood easier and the students’ interest and enthusiasm for advanced mathematics enhanced.

Keywords:Mathemtica software; Fourier series; Graphical presentation

On the Application of Mathematica in Fourier series Analysis

ZHANG Ping ZHANG Xiao-hua
( College of Science, Three Georges University, Yichang, Hubei, 443002 China )

TP391.1；O122.7

A

1009-8135（2012）03-0136-04

2012-01-25

张 平（1978-），女，湖北利川人，三峡大学理学院，讲师，硕士.

张小华（1980-），男，湖北枝江人，三峡大学理学院，讲师，博士.

本文系三峡大学教学研究项目(No.J2011086)研究成果之一