杨 威，应保胜，邱新桥，吴岳敏

（1.武汉科技大学机械自动化学院，湖北武汉，430081；2.湖北汽车工业学院机械工程系，湖北十堰，442002）

逐点比较直线插补算法的优化

杨 威1，应保胜1，邱新桥2，吴岳敏1

（1.武汉科技大学机械自动化学院，湖北武汉，430081；2.湖北汽车工业学院机械工程系，湖北十堰，442002）

基于八方向插补算法，提出一种改进的逐点比较插补算法。通过最大插补误差分析，利用解析求解、数值比较及计算机运算，得到一种插补精度较高、运算速度较快、速率较平稳的偏差计算方法。

数控系统；逐点比较插补法；直线插补；优化改进

插补运算是计算机数控（Computer Numerical Control，CNC）系统中生成加工轨迹的一个基本子程序，它直接影响到工件的轮廓精度、表面光滑度和机床的最大进给速度［1－3］。插补算法分为基准脉冲插补算法和数据采样插补算法。基准脉冲插补算法中最常用的是逐点比较法。逐点比较法的优点是算法简单、插补计算速度快、插补误差较小，但同时也存在如下缺点：①不能两轴联动，影响加工精度；②插补次数多，执行时间长，影响生产效率［4］。

本文在逐点比较法的基础上，改变判断点的取值，增加一个进给方向，以图进一步提高插补精度和运算速度。

1 插补原理

逐点比较法的基本原理［5］为：计算机在控制加工轨迹的过程中，刀具每进一步（一个脉冲当量）都将实际加工点同规定的轨迹进行比较，并计算一次偏差值，从而决定下一进给点，以逼近给定的轨迹。因此刀具每进给一步都要经过如下4个节拍：偏差计算、位置判别、坐标进给、终点判别。

2 改进算法的插补方法与实现过程

逐点比较插补算法只有＋x、＋y、－x、－y四个进给方向，八方向插补算法［6］是在该四个进给方向上再增加＋x＋y、－x＋y、－x－y、＋x－y四个进给方向。其中，＋x＋y是指＋x和＋y坐标方向同时进给，其余类推。八方向插补算法进给方向如图1所示。

图1 八方向插补算法进给方向Fig.1 Coordinates of eight directions interpolation algorithm

2.1 证明插补直线与任意插补点的位置关系

图2 任意加工起点时插补直线通过区域Fig.2 Interpolation curve at any starting point of processing

设任意直线AB为加工轨迹，则刀具瞬时加工点p0（xi，yi）在任意位置都有3个进给方向（见图2），下一进给点是p′1、p″1、p‴1中的某一点。点A与插补起点p0重合，此时直线AB通过正方形区域p0p′1p″1p‴1，证明插补i次后，直线AB通过区域pip′i＋1p″i＋1p‴i＋1。证明：

（1）在插补起点时，直线AB通过正方形区域p0p′1p″1p‴1；

（2）插补i次后，插补点为pi（xi，yi），直线AB通过正方形区域pip′i＋1p″i＋1p‴i＋1；

（3）第i＋1次插补有3个插补点p′i＋1（xi＋1，yi）、p″i＋1（xi＋1，yi＋1）、p‴i＋1（xi，yi＋1），分别为如下3种情形：①第i＋1次插补点为p′i＋1（见图3），直线AB通过p′i＋1p′i＋2p″i＋2p‴i＋2；②第i＋1次插补点为p″i＋1（见图4），直线AB通过p″i＋1p′i＋2p″i＋2p‴i＋2；③第i＋1次插补点为p‴i＋1（见图5），直线AB通过p‴i＋1p′i＋2p″i＋2p‴i＋2。

可见上述假设成立。证毕。

图3 插补点为p′i＋1时插补直线通过区域Fig.3 Interpolation line at the interpolated point p′i＋1

图4 插补点为p″i＋1时插补直线通过区域Fig.4 Interpolation line at the interpolated point p″i＋1

图5 插补点为p‴i＋1时插补直线通过区域Fig.5 Interpolation line at the interpolated point p‴i＋1

2.2 最大误差临界角计算

任意直线AB为加工轨迹，刀具瞬时加工点pi（xi，yi）在任意位置都有3个进给方向（见图6）。下一进给点是p′i＋1（xi＋1，yi）、p″i＋1（xi＋1，yi＋1）或p‴i＋1（xi，yi－1）中的某一点。根据2.1的证明，直线AB总是通过区域pip′i＋1p″i＋1p‴i＋1。分别作p′i＋1L、p″i＋1N垂直于直线AB，垂足为L、N。点M为直线AB与直线p′i＋1p″i＋1的交点。则，当下一进给点为p′i＋1时，误差为p′i＋1L；当下一步进给点为p″i＋1时，误差为p″i＋1N。从图6中可看出，显然点p‴i＋1不可能成为最小误差插补点，因此只需在p′i＋1L与p″i＋1N中选择。

图6 M点在p′i＋1p″i＋1上时最大误差临界角Fig.6 Maximal critical angle of error at point M for middle point of p′i＋1p″i＋1

图7 M点为p″i＋1p‴i＋1中点时最大误差临界角Fig.7 Maximal critical angle of error at point M for middle point of p″i＋1p‴i＋1

2.3 最大误差计算

2.4 偏差计算

偏差计算以第Ⅰ象限的直线为例（见图8、图9）。设直线的起点为o（0，0），终点为B（xe，ye），其他点定义同图6。当xe＝0时，刀具沿x轴方向进给；当ye＝0时，刀具沿y轴方向进给；当xe≠0且ye≠0时，交点为M1、M2、M3、M4，显然，延长线上的交点M2和M4应被排除掉。

点M1坐标可由下式确定：

图8 M点在p′i＋1p″i＋1上时的偏差Fig.8 Error at point M for middle point of p′i＋1p″i＋1

图9 M点在p″i＋1p‴i＋1上时的偏差Fig.9 Error at point M for middle point of p″i＋1p‴i＋1

2.5 偏差判别

2.5.1 长度比较法

如图8、图9所示：

当β∈［arctan0.5，90°－arctan0.5）时，Fij＝2；

当β∈［90°－arctan0.5，90°）时，Fij＝3。

2.6 坐标进给

当Fij＝1时，下一个插补点选择点p′i＋1；

当Fij＝2时，下一个插补点选择点p″i＋1；

当Fij＝3时，下一个插补点选择点p‴i＋1。

2.7 终点判别

起点为（x0，y0）（一般取为原点（0，0）），终点为（xe，ye）的直线，其判别值（直线在x、y轴方向上的总步长）为Im，则：Im＝xe－x0＋ye－y0。

2.8 不同象限的插补分析

对于任意象限的直线插补，可以先通过坐标平移将起点移至坐标原点，再根据直线终点的所在象限，应用坐标变换方法，将其变换为标准的第一象限内直线来插补。直线插补坐标变换法如表1所示，其中U表示x轴方向进给，V表示y方向进给。

表1 直线插补坐标变换法Table 1 Coordinate synopsis of linear interpolation

3 结语

改进后的逐点比较直线插补算法通过改变判断点的取值，增加了一个插补运动方向，其插补误差仅为传统算法误差的1／2，插补次数相应减少，从而提高了插补精度和加工速度。

［1］ 王爱玲.现代数控原理及控制系统［M］.北京：国防工业出版社，2002.

［2］ 张建刚，胡大泽.数控技术［M］.武汉：华中科技大学出版社，2000.

［3］ 李佳.数控技术及应用［M］.北京：清华大学出版社，2001.

［4］ 张柱银，姚建明，李硕.数控系统中逐点比较法的优化算法［J］.机械研究与应用，2010，23（1）：42－44.

［5］ 苏秀平.细论直线的逐点比较法插补［J］.机床与液压，2004（4）：119－121.

［6］ 范希营，郭永环.数控系统基准脉冲插补的发展方向［J］.机床与液压，2010，38（20）：109－111.

Optimization of point－by－point comparison linear interpolation algorithm

Yang Wei1，Ying Baosheng1，Qiu Xinqiao2，Wu Yuemin1
（1.College of Machinery and Automation，Wuhan University of Science and Technology，Wuhan 430081，China；2.Department of Mechanical Engineering，Hubei University of Automotive Technology，Shiyan 442002，China）

Based on the eight directions interpolation algorithm，an improved point－by－point comparison interpolation algorithm was proposed.By maximum interpolation error analysis，analytical solution，numerical comparison，and computer computation，an error calculation method was obtained，which boasts higher interpolation precision，stable computation，and higher computation speed.

NC system；point－by－point comparison interpolating algorithm；linear interpolation；optimization

TB115

A

1674－3644（2012）03－0222－04

［责任编辑 彭金旺］

2011－10－25

杨 威（1989－），男，武汉科技大学硕士生.E－mail：710327911＠qq.com

应保胜（1964－），男，武汉科技大学教授，博士生导师.E－mail：635125316＠qq.com