詹森

（广东技术师范学院 计算机科学系，广东 广 州 510665）

构造高阶f次幻方的加法

詹森

（广东技术师范学院 计算机科学系，广东 广 州 510665）

给出构造高阶f（=1，2，…为自然数）次幻方的加法，并证明两个f次幻方的和仍是一个f次幻方；两个f次完美幻方的和仍是一个f次完美幻方.

幻方；加法；f次幻方；f次完美幻方

将一个幻方中的每个数都取2，3，…次幂，一般来说，所得相应的方阵不是幻方.如果一个幻方中的每个数都取遍f（f=1，2，…为自然数）次幂，所得相应的方阵仍然是幻方，则称这个幻方为f次幻方[1].若相应的方阵仍然是完美幻方，则称这个幻方为f次完美幻方.一次幻方就是常见的幻方.构造f次幻方是一件很困难的事，构造低阶f次幻方就更困难，这是世界上幻方研究者正在努力攻克的难题，2003年2月，高治源和潘凤雏合作编出2个12阶3次幻方，为下文方便，将其中一个幻方[2]记为CH.目前12阶3次幻方仍是最低阶高次幻方的世界记录.

1 构造高阶幻方加法的定义

根据文[3]构造高阶幻方的加法，我们可以利用两个已知的低阶f次幻方构造高阶f次幻方.

设给定m阶幻方为A，n阶幻方为B.以a（i，j）（i，j=1，2，…，m）表示幻方A的元素；以b（h，k）（h，k=1，2，…，n）表示幻方B的元素.我们利用幻方A、B构造一个mn阶幻方C，其待定的元素为c（i，j）（i，j=1，2，…，mn），这里C是用m个n2阶子幻方C（i，j）（简记 Cij=C（i，j）（i，j=1，2，…，m））安装而成，即令

其中这些子幻方Cij按如下步骤计算：

第一步：设一个n阶方阵为

则（-1）I是方阵I的每一个元素乘以（-1）所得的n阶方阵.将B与（-1）I的对应元素相加，它们的和记为，其元素为 b（h，k）-1（h，k=1，2，…，n），显然，仍是一个n阶幻方.

第二步：的每……