严 钧

（扬州大学数学科学学院，江苏扬州225002）

基于Esscher变换的指数Ornstein－ Uhlenbeck过程的定价

严 钧

（扬州大学数学科学学院，江苏扬州225002）

考虑指数Ornstein－Uhlenbeck过程作为标的价格过程，通过Esscher变换给出该价格过程欧式期权的价格.

Ornstein－Uhlenbeck过程；Esscher变换；期权定价

期权定价问题是金融数学研究的热点，很多文献曾探讨过基于Esscher变换的证券定价问题.GERBER和SHIU［1］研究了基于Esscher变换的标的价格过程的欧式期权定价问题，讨论了对数维纳过程、带漂移的泊松过程、随机游动等价格过程，还考虑了多风险资产的情形；MOLLER［2］考虑了基于Esscher变换的巨灾（PCS）保险期权的定价问题，通过Esscher变换给出各个时期PCS期权的价格；CHRISTENSEN［3］考虑了更为一般的PCS期权定价模型，同样通过Esscher变换给出了期权价格；还有诸多研究期权定价的报道可以参见文献［4－10］.不同于以上文献报道，本文考虑的是指数Ornstein－Uhlenbeck过程的期权定价问题.

1 预备知识

其中b（＞0）是一个常数，σ是一个正的常数，｛W（t）；0≤t≤T｝是标准维纳过程.在概率空间（Ω；F；P）上赋予一个σ代数流Ft＝σ（X（s），0≤s≤t），且FT＝F.通过X定义如下的价格过程：S（t）＝S（0）exp［X（t）］，那么基于标的价格过程S｛S（t），0≤t≤T｝的期权价格过程为

其中h（x）称为支付函数，T是期权的执行日期，r是利率，E＃表示关于某个风险中性测度的期望，所以需要通过一种方法来决定一个风险中性测度以作为定价测度.

下面运用Esscher变换来构造风险中性测度，具体做法如下.令

相应的概率密度函数为ft（x）.对任意的实数θ，定义X的矩母函数如下：

对任意函数ρt：［0，＋∞）R，定义

称ft（x，ρt）为原始概率密度函数ft（x）的Esscher变换，由概率密度函数的特征性质易知ft（x，ρt）也是……