李东征，陈行堤

（华侨大学数学科学学院，福建泉州362021）

调和映照的Landau定理

李东征，陈行堤

（华侨大学数学科学学院，福建泉州362021）

研究调和映照的Landau定理和单叶性半径估计问题，结合有界单叶函数的Koebe定理和调和映照的Schwarz引理，得到Landau常数的渐进精确表示，改进了陈怀惠等近期的研究结果.

调和映照；Landau定理；Bloch常数；单叶函数

1 预备知识

单连通区域Ω⊂C内的C2复值函数f（z）被称为调和的，当且仅当它满足由文献［1］可知，存在Ω上两个解析函数h（z）与g（z），使得f＝h＋g¯.

记Λf（z）＝max｜fz（z）＋e－2iθfz¯（z）｜＝｜fz（z）｜＋｜fz¯（z）｜＝｜h′｜＋｜g′｜和λf（z）＝min｜fz（z）＋

0≤θ≤2π0≤θ≤2πe－2iθfz¯（z）｜＝｜｜fz（z）｜－｜fz¯（z）｜｜＝｜｜h′｜｜g′｜｜.根据Schwarz引理［2］，如果单位圆盘D＝｛z｜｜z｜＜1｝上的解析函数f（z）满足f（0）＝0，｜f（z）｜＜1，则有｜f′（0）｜≤1，且等号成立当且仅当f（z）＝eiαz，其中α为实常数.即如果｜f′（0）｜＝1，则f（z）在单位圆盘上都单叶且其单叶像圆盘半径为1.Landau［3］对｜f′（0）｜＝α，0＜α＜1的情形进行了研究，得到如下定理.

定理A［3］若f（z）为单位圆盘D上的解析函数，满足f（0）＝0，｜f（z）｜＜1，z∈D，｜f′（0）｜＝α＞0，则f（z）在圆盘Dr0上单叶，且f（Dr0）包含一个圆盘

文献［1，4－6］在有界像域和有界偏导数的两种规范条件下，展开了Landau定理在调和映照类中的推广研究；而在其他类中的推广研究也有不少成果［7－11］.

定理B［4］如果f（z）为单位圆盘D上的保向调和映照，且满足fz（0）＝α＞0，f（0）＝0，f¯z（0）＝0，｜f（z）｜＜1，z∈D，那么f（z）在某一包含原点的区域上单叶，其像区域包含一个以原点为圆心，R0为半径的圆盘.其中

在定理B中，未给出f（z）的单叶圆盘半径的估计.针对调和映照的单叶圆盘和单叶像圆盘的半径估计的两个问题，借助有界单叶函数的Koebe定理和调和映照的Schwarz引理［12－13］，可得到

定理1 如果D上的保向调和映照f（z）满足f（0）＝0，fz（0）＝α＞0，g（z）＝bmzm＋bm＋1zm＋1＋…（bm≠0，m≥2），｜f（z）｜＜1，则f（z）在圆盘Dr上单叶，且f（z）的单叶像区域包含一个以原点为中心，R1为半径的圆盘，R1＝（1－r0m－1）R″.

当2≤m≤3时，有

其中：b为……