李洪发

分段三次Hermite插值的同时逼近

李洪发

（天津师范大学政治与行政学院，天津300387）

讨论基于等距节点的分段三次Hermite插值的同时逼近，给出了相应量的收敛估计．

分段三次Hermite插值；同时逼近；误差估计；等距节点

分段三次Hermite插值是函数拟合的基本方法，在基础研究和工程技术中有着非常重要的应用［1－3］．光滑函数的同时逼近问题是逼近理论研究的重要课题，并且在工程问题中有着重要的实际意义，文献［4－6］讨论了多项式插值的同时逼近问题，本研究讨论分段三次Hermite插值的同时逼近问题．

若f（x）∈C（1）［a，b］，a＝x0＜x1＜…＜xn＝b，则存在唯一的分段插值函数In（x），满足条件

1）In（x）∈C（1）［a，b］；

2）In（xk）＝f（xk），I′n（xk）＝f′（xk），k＝0，…，n；

3）In（x）在每个小区间［xk，xk＋1］上是关于x的三次代数多项式．称（x）为f（x）的基于结点组，k＝0，…，n的分段三次Hermite插值．若［a，b］＝［0，1］，x＝，k＝k0，1，…，n，则In（x）记为Hn（f，x），

其中：

本研究得到：

定理 若f（x）∈C（2）［a，b］，则有

证明 由式（1）～式（3）可知，若x∈［xk－1，xk］，则

对式（8）两边求二阶导数，整理可得

利用积分交换顺序可得

类似地有

将式（10）和式（11）代入式（9），整理可得

直接计算可检验

由式（12）和式（13）可得

由于当s，x∈［0，h］时，｜f″（s）－f″（x）｜≤ω（f，h），因此

直接计算得

由式（16）可得

由式（15）和式（17）可得

类似于式（15）的证明可得

由式（17）和式（18）可得式（4）．

对于x∈［xk，xk＋h／2］，由分段函数满足的条件2）可得

对于x∈［xk＋h／2，xk＋1］，同样可得

由式（19）和式（20）以及式（4）可得到式（5）．

对于x∈［xk，xk＋h／2］，由分段函数满足的条件2）可得

对于x∈［xk＋h／2，xk＋1］，由分段函数满足的条件1）可得

由式（21）和式（22）以及式（5）可得到式（6）．

［1］ 张文强，杨耀民，许珉．基于三次样条函数的加Rife－Vincent（Ⅲ）窗FFT插值算法［J］．电力系统保护与控制，2009，12：36－39．

［2］ 王东，陶跃珍．基于Matlab三次样条插值的连杆机构轨迹再现优化设计［J］．机械传动，2011，35（1）：38－41．

［3］ GAO G H，WANG T K．Cubic superconvergent finite volume element method for one－dimensional elliptic and parabolic equations［J］．Journal of Computational and Applied Mathematics，2010，233：2285－2301．

［4］ VERTESI P，XU Y．Mean convergence of Hermite interpolation revisited［J］．Acta Math Hungar，1995，69（2）：185－210．

［5］ KIGORE T．An elementary simultaneous polynomials［J］．Proc Amer Math Soc，1993，118：529－536．

［6］ 许贵桥．插值多项式在一重积分Wiener空间下的同时逼近平均误差［J］．中国科学：数学，2011，41（5）：407－426．

（责任编校 马新光）

Simultaneous approximation of piecewise cubic Hermite interpolation

LI Hong－fa
（College of Politics and Public Adminstration，Tianjin Normal University，Tianjin 300387，China）

The simultaneous approximation of the piecewise cubic Hermite interpolation based on the equidistant nodes is discussed．The convergence rate is given．

piecewise cubic Hermite interpolation；simultaneous approximation；error estimate；equidistant nodes

book=2012,ebook=32

O174．41

A

1671－1114（2012）02－0038－03

2011－09－25

李洪发（1963－），男，讲师，主要从事计算数学及计算机软件方面的研究．