李健

（内蒙古化工职业学院，内蒙古 呼和浩特 010010）

包络和奇解

李健

（内蒙古化工职业学院，内蒙古 呼和浩特 010010）

给出了包络和奇解的定义及定理，可以用各种不同方法求解一阶隐式微分方程的奇解，包络.关键词：微分方程；通解；奇解；包络

1 奇解

从x+2 p-3=0解得x=-2 p-3，以此代入（1.1）又得原方程的一个特解：

此解称为奇解.

定理1设函数F(x,y,p)对(x,y,p)∈G是连续的，而且对y和p有连续的偏微商F'p和F'y，若函数y=覬(x)，(x∈J)是微分方程（1.4）的一个奇解，并且(x,覬(x)覬'(x))∈G,(x∈J)，则奇解y=覬(x)满足一个称之为p-判别式的联立方程F(x,y,p)=0,F'p，（设从（1.5）中消去p得到方程△(x, y)=0（1.6），则称此所决定曲线为方程（1.4）的p-判别曲线，因此，微分方程（1.4）的奇解是一条p-判别曲线）.

证明 因为y=覬(x)是微分方程（1.4）的解，所以它自然满足上述p-判别式（1.5）的第一式.

现在证明它也满足第二式.

假设不然，则存在x0∈J，使得F'p(x0,y0,p0)≠0，其中y0=覬(x0),p0=覬'(x0)注意Fp(x0,y0,p0)=0和(x0,y0,p0)∈G，因此我们可以用隐函数定理推出，由方程（1.4）在(x0,y0)附近唯一的确定了=f(x,y（)1.7）其中函数f(x,y)满足f(x0,y0)=p0，这就证明了微

分方程（1.4）所有满足y(x0)=y0,y'(x0)=p0的解必定是微分方程（1.7）的解.

另一方面，由于函数f(x,y)在(x0,y0)点某领域内是连续的，而且对y有连续的偏微商，所以由皮卡定理可知，微分方程（1.7）满足初值条件y(x0)=y0的解是存在而且(x0,y0)点的唯一解.这就证明了在(x0,y0)点附近不可能存在微分方程（1.4）的其它解在该点与y=覬(x)相切.

这个结论与y=覬(x)是奇解的假设不能相容，因此上述反证法假设是不成立的，从而y=覬(x)也满足p-判别式的第二式.

容易验证，微分方程x(y')2-2 y y'+9 x=0的奇解y=3 x和y=-3 x满足相应的p-判别式x p2-2 y p+9 x=0,2 x p-2 y=0;

这里必须注意，由p-判别式确定的函数y=Ψ(x)不一定是微分方程的解，即使是也不一定是奇解.例如，微分方程的p-判别式p2+y-x=0,2 p=0；……