☉江苏省海安县实验中学 李春玲

例谈数学直觉思维培养

☉江苏省海安县实验中学 李春玲

直觉思维是指人们打破逻辑规则的约束，直接领悟事物本质的一种思维方式，是一种非逻辑思维.直接考虑数学对象、结构及数学关系的思维活动，我们称之为数学直觉思维.法国数学家、哲学家庞加莱说：“逻辑用于证明，直觉用于发明.”由于我国的数学教学历来较多强调逻辑推理，而对数学直觉思维有所忽视，使学生在学习数学时产生枯燥感，从而丧失兴趣，缺少创新与发明.因此，数学直觉思维的培养不仅是数学教学的需要，也是社会发展的需要，更是现代化社会公民的必备思维素质.

现将笔者在数学教学中培养学生数学直觉思维能力的几例予以展示，供大家参考.

师：这是一道比较大小题，如何解决此类问题？

生1：这类题通常用作差法或作商法，这道题我认为用作差法比较适合.（这时候好多同学从埋头苦算中抬起了头，并肯定这一方法一定比逻辑推理来得快，但有同学还有见解）

生2：考虑是指数函数题，凭直觉应该考虑到图像法.

师：生1，展示一下你的方法！

师：两位同学的解题思路都很好.

解析：生1由作差后的式子的特征，巧妙运用完全平方恒为正这一看似与本题毫无关系的知识点，运用代数法解题.生2由f（x）=2x的图像特征建立的知识框架，秒杀看似较抽象的一道函数题.

师：（为了进一步激发学生的思维兴趣）若将本题中的函数f（x）=2x改为f（x）=log2x，结论又如何呢？课堂上顿时一阵讨论声，随后异口同声得出了正确结论.

点评：这是一道考查指数函数性质的题目，涉及了函数的大小比较法、函数图像、函数单调性.当学生能合理清晰地掌握函数知识和相关数学知识时，通过直觉，不用计算，直接推理就能给出准确的判断.合理清晰的知识结构和体系，有利于形成思维框架，迅速将具体问题与相关知识形成联系，选择优化解决问题的方案.产生直觉的源泉是扎实的基础，直觉的获得固然具有偶然性，但决不等同于无缘无故的凭空臆想.课堂教学中，应通过培养学生的敏锐观察力，通过教者富于感染力的语言表达，加强直觉思维能力的训练，提高学生的思维品质.

案例2 在高考第一轮复习函数与方程时，教者这样设计了教学.

题目：已知二次函数y=f（x）的零点分别是－2和3，且该函数的最大值为5，求y=f（x）的表达式.

生1：这是一道求二次函数解析式题，考虑二次函数求解析式共有三种设法，即一般式，顶点式，零点式.由本题情况应设零点式y=f（x）=a（x－3）（x+2），求出a即可.（同学们一致赞同他的合情推理解题法）

师：好，生1的推理思路很清晰.请问，何时设顶点式，何时设一般式？

生2：知道顶点设顶点式，知道三个无太大关联的点设一般式.（下面同学表示赞成，这问题太简单）

师展示题2：若二次函数f（x）的顶点为（1，16），其图像在x轴上截得的线段长为8，则求f（x）=0的两根.

师：生4，你是否有其他想法？

生4：这题读一遍就应有结果.顶点是（1，16），对称轴为直线x=1，由题意易知两根为x1=1－4=－3和x2=1+4=5.（下面有好多同学附和，师带头鼓掌）

点评：生3的结果是正确的，这是典型的合情推理，这样的解题思路从具体情境入手，对症下药，解题步骤严密.但对比生4与生3的合情推理，生4则更能具体情况具体推理，更能体现合情推理的内涵.合情推理是从已有的知识和具体的事实经验出发，通过观察、实验、类比、联想、归纳、猜测等手段，在某种情境和过程中得出某一可能性结论的推理.这种推理从观察、实验入手，通过类比或通过归纳作出猜想，故解题更简洁.平时要有意识地在教学中进行这些思维活动的训练，有意识地渗透合情推理思想.这样，学生的数学直觉就慢慢产生，在遇到具体问题时会自然以合情推理为前提产生直觉顿悟.总之，合情推理的实际意义是“发现”.

同学们有的在设动点，埋头演算，有的在准确地画图，巡视过程中，我发现生1不断地在图上改变直线AB的位置.

师：生1，通过思考，你能确定AB恒过一定点吗？

图1

图2

生1展示了他的解题过程：

师生共同完成了一般情况下点P的求解过程：

点评：数形结合思想是数学解题的常用思想，数形结合以给解题过程带来直观、形象、简洁而受青睐.数形结合思想方法的运用会使直观与抽象，感知与思维巧妙结合，数形结合能唤起直觉思维的灵感.在教学中，重视从教学设计，教学方法，教学手段等方面渗透，使学生达到见数思形，以形助数，数形适时转化，相互补充，使学生数学思路开阔，释疑敏捷.

①当a=5时，数列{xn}的前3项依次为5，3，2；

②对数列{xn}都存在正整数k，当n≥k时总有xn=xk；

其中真命题有______.（写出所有真命题的编号）

题目展出后，同学们普遍感觉有难度，只有命题①大家公认正确.

师：我们如何判断其他三个命题的真伪呢？（教室里鸦雀无声）

生2突然站起：对于②③④可以采用特殊值法检验.

师：好，给大家讲讲你的思路！

生1：当a=1时，x1=1，x2=1，x3=1，xn=1，此时②③④均对.

当a=2时，x1=2，x2=1，x3=1，xn=1，此时②③④均对.

当a=3时，x1=3，x2=2，x3=1，x4=2，x5=1，断定往后的项是2，1，2，1相间，此时③④仍然成立.因此，凭直观我们可以猜想③④也是真命题.

师：对于此道题，由于题型特殊，生1取特殊值检验，方法巧妙！这道题的理论依据值得大家一起探讨.（接下去，师生一起探讨出证明过程）

点评：此题难度较大，寻找解题的切入口是难点，特殊值列举对于本题的解题是有效的解决办法.特殊化方法使学生凭直觉进行推断的理论依据是：若在一般情况下成立，则包含于题目之中的特殊情况也成立.特殊化思想是一种重要的数学思想，有利于培养学生的创新意识，尤其在高考的非答题中，利用特殊的图形、数字、式子开路，寻求解题突破口，易于发觉解题思路，培养学生的发散思维、提高和研究问题的思维品质.针对特定的题型，恰当的运用特殊化思想，往往会给解题带来化繁为简、化难为易的奇效.

综上，在当今数学教学中注重培养数学直觉思维势在必行.直觉思维能使学生解题时迅速抓住问题本质，作出判断.但数学是一门严谨的科学，直觉思维不可避免的会有思维空隙，这需要用逻辑思维加以填补.事实上，恩格斯早就教导我们：“归纳和演绎，正如分析和综合一样，是必然互相联系着的，不应牺牲一个而把另一个捧到天上去，应当把每一个都用到该用的地方去，而要做到这一点，就必须注意它们的相互联系、它们的相互补充.”因此，直觉思维和逻辑思维同等重要，忽视哪一方都会使一个人的思维能力的发展受到限制.这就要求在数学教学中，将学生的两种思维同时开拓，促进学生思维的全面、健康发展，适应新时期社会对人才的需求.