☉江苏省连云港高级中学 高 原

函数的奇偶性是函数的一个重要性质，对函数变化的规律可以从对称的角度进行描述，从不同的角度对函数奇偶性进行理解，从而能够对函数奇偶性灵活的应用.

一、定义的理解

1.如果对于函数f（x）定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数.

2.如果对于函数f（x）定义域内任意一个x，都有f（-x）=-f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数.

如果函数f（x）是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f（x）具有奇偶性.

对上述定义可从以下三个角度理解：

（1）任意性：要对定义域内任意x都满足条件，所以奇偶性是函数整个定义域上的性质，区别于单调性是某个区间上的性质.

（2）符号f（-x）=f（x）用文字语言描述是当自变量互为相反数时函数值相等；f（-x）=-f（x）用文字描述为当自变量互为相反数时函数值也互为相反数.

（3）一般地，奇函数的图像关于原点对称，反过来，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数；偶函数的图像关于y轴对称，反过来，如果一个函数的图像关于y轴对称，那么这个函数是偶函数.

二、函数奇偶性的判定方法

2.借助函数的图像判定函数奇偶性.

3.性质法判定：

（1）在两个函数定义域的公共部分内，两奇函数之积（商）为偶函数；两偶函数之积（商）也为偶函数；一奇一偶函数之积（商）为奇函数（注意取商时分母不为0）；

（2）偶函数在区间（a，b）上递增（减），则在区间（-b，-a） 上递减（增）；奇函数在区间（a，b）与（-b，-a）上的增减性相同.

例1 判断下列函数是否具有奇偶性：

（1）f（x）=x+x3+x5； （2）f（x）=x2+1；

（3）f（x）=x+1； （4）f（x）=x2+1，x∈［-1，3］.

解析：（1）函数f（x）=x+x3+x5定义域为R，

因……