●张世林 谭柱魁 覃德才 (巴东一中 湖北巴东 (444300)

在近几年各地的高考压轴题中大量存在构设辅助函数证明不等式和求参数取值范围的问题.这类问题具有极强的综合性和思考性，小题之间由易到难，层层递进，联系紧密，浑然一体，入手容易，深入难，可使知识水平、能力层次不同的学生各有所得，具有较高的区分度.在解法方面，特别重视导数工具作用的考查，其中有一类函数不等式在高考试题中出现的频率较高，有必要对其进行深入探讨.

1 问题提出

设函数f(x)=axn(1-x)+b(x＞0)，n为正整数，a，b为常数，曲线 y=f(x)在(1，f(1))处的切线方程为x+y=1.

(1)求 a，b的值;

(2)求函数f(x)的最大值;

学生在处理本题第(1)和第(2)小题时，一部分基本功扎实的考生能够正确迅速求解，但是第(3)小题却少有考生问津，分析其中的原因，除了考试时间不够外，第(3)小题也确有较大的难度，同时也暴露出考生综合运用数学知识进行推理论证的能力较为薄弱.现就第(3)小题的证法进行深入探究.

2 合作共探，改进证法

参考答案如下：

在(0，1)上，φ'(t) ＜0，即 φ(t)单调递减;在(1，+∞)上，φ'(t) ＞0，即 φ(t)单调递增，故 φ(t)在(0，+∞)上的最小值为φ(1)=0，从而故所证不等式成立.

绝大部分考生在惊叹考题设计之精巧、解答天衣无缝的同时，仍一头雾水，满腹疑虑，为什么一开始就能构设出如此精准的辅助函数φ(t)，而不设成其他形式?其中有没有规律可寻?涉及不等式证明的试题真是“自古华山一条路”，可望而不可及吗?

带着疑问，师生交流，合作共探，对参考答案的解法作出了以下改进：

两边取自……