●陈玉兰 吴志鹏 (德化县第一中学 福建德化 362500)

导数是研究函数性质(单调性、极值、最值等)及其图像的有力工具，但如果对导数的概念、性质理解不到位，就会在解决函数问题时出现不应有的失误，学生在解决导数问题时也就容易出现对而不全的现象.本文结合具体案例，对学生在学习导数过程中出现的易错点进行剖析，希望对读者有帮助和启发.

1 对“过曲线上某点的切线”与“在曲线上某点处的切线”的含义认识模糊

导数的几何意义指出：函数在某点处的导数就是曲线在该点处切线的斜率.由导数的几何意义可知，利用导数求曲线在点x0处的切线方程，可分成以下2步：

(1)求出函数y=f(x)在x0处的导数，即求曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率;

(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0).

特别地，如果曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线平行于y轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为x=x0.

例1 求曲线f(x)=-x3+3x过点A(2，-2)的切线方程.

错解 因为点A在曲线f(x)=-x3+3x上，且 f'(x)=-3x2+3，所以

故所求切线方程为y+2=-9(x-2)，即

正解 设在曲线上的切点为P(x0，y0)因为

所以在点P处的切线方程为

又因为切线过点A，所以

当x0=-1时，切线经过点 P(-1，-2)和A(2，-2)，切线方程为y=-2;当x0=2时，切线方程为9x+y-16=0.

分析错解中遗漏了y=-2这条切线，失误的原因是把过点A的切线理解成在点A处曲线的切线.曲线在点A处的切线指的是切点在点A处的切线，而过点A的切线除了切点在点A处的切线外，还可能存在切点不在点A处而经过点A的切线，两者是有区别的.因此，解题时必须理……