耿正玲，崔传智，杨赤宸 （中国石油大学 （华东）石油工程学院，山东 青岛266580）

杨 勇，王 建 （中石化胜利油田分公司地质科学研究院，山东 东营257015）

目前水平井技术在油田开发中得到了越来越广泛的应用。水平井优化设计是水平井开发的基础，水平井产能预测是水平井优化设计的重要依据。国内外学者在对水平井的产能预测研究中[1～3]，部分学者将井筒中的流动看作是无限导流能力，忽略井筒中压降，采用镜像反映原理、叠加原理、复势理论、等值渗流阻力法等进行求解；部分学者考虑了井筒中的压降，将水平井段分成若干段，根据镜像反映和势的叠加原理得到地层中的压力分布，并与井筒中流体的流动进行耦合，通过迭代计算得到水平井的产能。采用上述方法计算的水平井产能，与实际产量相差较大。分析认为主要有以下两点[4]：①公式推导中假设地层是均质的，而实际地层是非均质的；②公式推导中假设地层中是单相流体流动，而实际地层多是油水两相流动。考虑到油藏开发一般以油水两相流为主，通过引入势的理论来研究油水两相稳定渗流问题，建立了各向异性油藏中油水两相渗流与水平井筒内的流动耦合的数学模型，并进行了计算分析，提高了水平井产能预测的精度，对水平井的产能预测和优化设计具有重要的指导意义。

1 油水两相稳定渗流情况下地层中任一点的势

假设条件：地层中油水两相同时流动，流体流动符合达西线性渗流规律；不考虑毛细管力和重力作用；流体稳定渗流。油水两相稳定渗流的综合微分方程如下。

式（1）加式（2）得：

令：

代入式（3）得：

可以看出，新的变量Φ满足Laplace方程，因此可以采用势的叠加原理求解油水两相稳定渗流问题。定义Φ为一新的速度势。

假设无限大空间中一点汇以恒定的产量q生产，在地层中任一点的势的表达式为[5]：

式中，K 为绝对渗透率，D；Sw为含水饱和度，小数；Kro（Sw）、Krw（Sw）分别为油相、水相的相对渗透率，小数；μo、μw分别为油相、水相的黏度，mPa·s；p为地层压力，0.1MPa；q为点汇的产量，cm3/s；Φ为势；r为地层中任一点与井的距离，m；C为任意常数。

2 各向异性油藏水平井生产时的地层压力和产能计算

2.1 均质地层水平井生产时压力及产能计算

对于顶底边界均封闭的油藏，水平井距油层底面距离为zw，水平井长度为L，油层厚度为h。把长度为L的水平井分成N段，每一段均可看成均匀线汇。根据镜像反映原理，水平井段被映射成无界空间中无穷井段（排），采用势的叠加原理，可得第i段线汇在油层中任意一点产生的势为[6]：

式中，qi为第i段线汇的流量；Li为第i段线汇的长度；xi1、xi2为第i段线汇的起始、终点横坐标；ηn为变值；yiw为第i段线汇的纵坐标。

根据势叠加原理，整根水平井在油层中产生的势为：

令Φe为供给边界的势，Φie为第i段线汇在供给边界产生的势，可得到：

根据式（4）和式（9），可得到地层中任一点处的压力为：

设第j段井壁处的压力为pj，第i段线汇在第j段线汇中点处产生的势为Φij，由式（10）可得到油藏内渗流方程为

当j从1到N变化时，可得方程组：

根据式（11）可求得地层中沿水平井筒的压力和流量分布。

2.2 各向异性油藏水平井的压力及产能计算

上述水平井产能的推导是在均质条件下得到的。在实际油藏水平井的设计中，要考虑水平段与主渗透率方向的夹角以及水平段与地层水平方向的夹角等情况，对于这些情况下水平井的产能，采用美国学者Besson（1990）提出的等效转换公式 （用带撇号的符号表示等效参数）[7]：

在水平井井筒附近存在地层伤害时，其井筒有效半径可表示为[8]：

式中，L为水平井长度，m；h为油藏厚度，m；θ、φ分别为水平井与X轴和Z轴的夹角；Kx、Ky、Kz分别为油藏X、Y、Z方向的渗透率；α为水平与垂向渗透率比值；β、γ为井的几何参数；a、b、c分别为X、Y、Z空间转换系数；re为泄油半径，m；rw为井筒半径，m；Sv为伤害表皮因数。

3 油藏渗流与井筒流动的耦合模型

油水两相在水平井筒内的流速较高时，会产生分散流动；流速较低时会产生层流流动。在层流条件下，第i段水平井筒中的压降由摩擦损失压降、重力损失压降、加速度损失压降组成，其表达式为[9]：[Qt（1－fw）]/Bo，其中fw＝1/｛1＋[（μwKro（Sw））/（μoKrw（Sw））]｝。

式中，lo、lw分别为过流断面上油相、水相边界的长度，m；ρo、ρw分别为油相、水相的密度，kg/m3；Ao、Aw分别为水平圆管横截面上油相、水相的截面积，m2；uo、uw分别为水平圆管横截面上油相、水相的流速，m/s；qlo、qlw为单位水平圆管长度壁面流入的油相、水相的体积流量，m3/s；τwo、τww分别为油相、水相与管壁的剪切应力，Pa；p为水平圆管内压力，Pa；θ为圆管倾角，（°）；g为重力加速度，m/s2；rw为水平圆管截面半径，m。

油藏中的渗流和井筒中的流动处在同一个压力系统下，两者在第i段井筒处产生的压力相等，即：

pi＝pwi（13）式中，pi为油藏渗流模型计算得到的在第i段井筒处产生的压力；pwi为井筒中的流体流动在第i段井筒处产生的压力。

将式（11）、（12）、（13）联立得到油藏渗流和井筒渗流的耦合模型，用迭代法对耦合模型进行求解，即可得到沿井筒的压力和径向流入量。由各段的径向流入量可得到水平井产液量

4 计算实例

采用上述模型，编制了计算程序。对不同情况下油水两相水平井的产能进行了计算和分析。油藏参数及水平井参数采用文献 [10]中数据，见表1；相对渗透率曲线及含水率曲线见图1。

表1 模型参数设置

4.1 水平井平面位置对产能的影响

在考虑井筒压降情况下，计算分析了不同含水率下水平井段与主渗透率方向呈不同夹角时的产能，如图2所示。可以看出，随着水平井与主渗透率方向的夹角增加，产油量增加，在90°时达到最大；因此，在布井时，水平井应与主渗透率方向垂直，提高驱替效果。

4.2 各向异性对水平井产能的影响

图1 相对渗透率及含水率曲线

在含水率为40%时计算了不同各向异性程度对应的水平井产能，如表2所示。可以看出，各向异性程度越强，水平井产能越低。随各向异性程度的增加，水平段与主渗透率方向夹角对产能的影响增强，如当Ky/Kx＝0.8，即各向异性程度较弱时，水平段与主渗透率方向夹角为0°和90°时的产能相差1.45m3/d；当 Ky/Kx＝0.2，即各向异性程度较强时，水平段与主渗透率方向夹角为0°和90°时的产能相差4.17m3/d。

4.3 油藏含水率对水平井产能的影响

在考虑井筒压降及水平段与主渗透率方向垂直情况下，计算分析了不同含水率时水平井的产能，如图3所示。在压差一定的情况下，随含水率的上升，产油量下降，初期产液量略有下降，之后增加；当含水率大于60%后，产液量上升较快，产油量下降较快。

图2 不同含水率下水平井与主渗透率不同夹角下的产油量

表2 各向异性程度对产能的影响 （fw＝40%）

4.4 冀东油田高104－5区块 G104－5P1井计算实例

采用文献 [10]中冀东油田高104－5区块G104－5P1井为例进行水平井产能的对比分析。该油藏中X、Y方向渗透率均为1.21D，Kz/Kx为0.25，其余数据见表1，所用相对渗透率曲线见图1。该井投产初期产能为23.2m3/d。利用Joshi公式计算得63.77m3/d，文献[10]中经公式校正得24.25m3/d，利用本文模型计算得到产量为23.62m3/d，与实际产量相近，可以看出，本文模型计算精度较高。

图3 不同含水率下产液量、产油量

5 结 论

1）推导了油水两相稳定渗流时地层中任意点的势，并利用势的叠加原理得到水平井生产时的地层压力分布。结合井筒压降模型，建立了考虑井筒压降和油藏渗流的耦合模型。并利用等效转换公式对上述模型进行修正，使之适用于各向异性油藏油水两相流水平井产液量和产油量的计算。

2）油藏各向异性程度越强，水平井产能越低，通过调整水平段与主渗透率方向的夹角能够提高水平井产能，当水平段垂直于主渗透率部署时，水平井的产能最高。

3）通过算例计算对比分析表明，所建立的模型对不同开发阶段油水两相流条件下水平井产能计算的精度较高，为高含水期水平井优化设计提供了依据。

4）所建立的模型适合于水平、均质 （Kx相同，Ky相同）、等厚地层中油水两相稳定渗流时水平井产能计算，对于沿水平段渗透率、剩余油饱和度变化时的水平井产能计算需要进一步改进、完善。

[1]Joshi S D.A review of horizontal well and drain hole technology [J].SPE16868，1987.

[2]陈伟，段永刚，方全堂 .水平井产能预测相关式研究 [J].西南石油大学学报 （自然科学版），2008，30（5）：108～110.

[3]陈小凡，乐平，苏国丰，等 .一种新的水平井产量计算公式 [J].西南石油大学学报 （自然科学版），2010，32（1）：93～96.

[4]郭肖，杜志敏 .非均质性对水平井产能的影响 [J].石油勘探与开发，2004，31（1）：91～93.

[5]张建国，雷光伦，张艳玉 .油气渗流力学 [M].东营：中国石油大学出版社，2006.

[6]刘想平，郭呈柱，蒋志祥，等 .油层中渗流与水平井筒内流动的耦合模型 [J].石油学报，1999，20（3）：82～86.

[7]Besson J.Performance of slanted and horizontal wells on an anisotropic media [J].SPE20965，1990.

[8]殷桂琴，张公社，刘志军，等 .水平井采油指数预测研究 [J].断块油气田，2006，13（3）：39～41.

[9]张林，熊友明 .水平井筒油水两相流压降计算模型 [J].断块油气田，2009，16（5）：77～80.

[10]崔传智，赵晓燕 .提高水平井产能公式预测精度的方法研究 [J].石油钻探技术，2007，35（1）：79～81.