刘 洋 ， 唐 湘 蓉 （ 成 都 理 工 大 学 油 气 藏 地 质 及 开 发 工 程 国 家 重 点 实 验 室 成都理工大学地球物院，四川 成都610059）

张玺华 （成都理工大学沉积地质研究院，四川 成都610059）

近年来，相对于其他方法，有限差分法显示了其数值方法的简洁性和生命力。这里通过修改波动方程式来压制有限差分中的频散，新的解法是利用原始波动方程式与一个衰减因子相乘。因此，数值频散在大波数情况下成指数方式衰减，使得有限差分法的效果像高阶一样，但是计算成本要小得多。对模型和真实数据的试验表明了该方法的有效性。由于有限差分法的简单性和可扩展性，有限差分法已经广泛运用于正演和偏移中波场的数值外推，但是必须特别注意的是一种有限差分法固有的误差，即数值频散。为此，笔者提出了一种简单和低计算成本的改进的波动方程式用来压制数值频散。

1 频散的理论分析

在声学中，三维波动方程式如下：

式中，v＝v（x，y，z）为空间速度，m/s；x、y、z为空间坐标；u为位移，m；t为时间，s。

在有限差分法中，数值频散是一个不希望出现的现象。先讨论一维上行波动方程式：

对空间Z方向进行离散，并且用1阶中心差分代替微分：

式中，Δz为Z方向的空间采样间隔，m。

以u＝exp [i （kz＋ωt） ]（其中，kz为Z方向的波数；ω为角频率，rad/s）代入式（3）得：

空间离散引起的相速度与群速度之比为：

式中，O（ ）为高阶无穷小。

由式 （5）可见，空间离散使得相速度低于群速度，并且波数越大的分量滞后得越多。而且当时间和空间采样间隔相对于所使用的有限差分方法过于粗糙，数值频散就会发生。……