管训贵

(泰州师范高等专科学校数理信息学院，江苏泰州225300)

1 引言及主要结论

对于正整数x，设π(x)表示适合p≤x的素数p的个数.1850年前后，chebyshev［1］证明了:当x≥2时，

100 多年来，不等式(1)被不断改进.2000 年，L.Panaitopol［2］证明了:当 x≥4 时，

最近，M.Bencze［3］提出一个猜想:对于正整数n和正实数x，当x＞C(n)(其中C(n)是仅与n有关的可效计算常数)时，不等式

成立.

2007年，乐茂华［4］教授证明了:当x≥4时，如果n≥6，那么不等式(2)成立.

本文，将讨论关于素数个数的又一个不等式，加强了Bencze不等式.

定理 对于正整数k、n和正实数x，设

当 x≥4 时，如果 n≥［(k+1)e1.2］，那么不等式

成立.

2 关键性引理

引理1 对于n≥4，有

证明 可参见文献［2］.

引理2 对于正整数k、n，有

证明 易知

故得引理.

3 定理证明

因为x≥4，所以根据不等式(5)，由(3)式可得

因此，若不等式(4)不成立，则fk(n)＜π(Sk(n)x)，并且由(7)式可得

又由(5)式可知:当x≥4时，

结合(8)、(9)两式可得

即

结合(6)、(10)两式可得

即 n ＜ ［(k+1)e1.2］.

因此，当 x≥4 时，如果 n≥［(k+1)e1.2］，那么不等式(4)成立.

显然，当时，(4)即为(2)，故本文的结论加强了Bencze不等式.

［1］ 潘承洞，潘承彪.初等数论［M］.北京:北京大学出版社，1997:382－391.

［2］ Panaitopol L.Inequalities Concerning the Function［J］.Acta Arith，2000，96(4):373 －381.

［3］ Bencze M.Open Question 2252［J］.Octogon Math Mag，2006，14(2):858.

［4］ 乐茂华.关于素数个数的一个不等式［J］.湖南:吉首大学学报(自然科学版)，2007，(6):7－8.