汤茂林

(武汉商业服务学院信息工程系，湖北武汉430056)

二重积分是一元函数积分的推广，它的应用十分广泛，不但可用于计算平面图形的面积和立体图形的体积，而且还能用于计算曲面的面积，以及解决物理学中有关力学等方面的一些问题.我们在求一元函数积分时，当某些被积函数比较特殊，或被积函数的原函数不是初等函数，不能直接用牛顿—莱布尼兹求值时，一般采用拉普拉斯(Laplace)变换或傅里叶(Fourjer)积分等方法来处理.这对于仅具有普通微积分知识者来说是比较困难的.下面介绍一种利用二重积分来计算某些一元函数积分的方法.

例1［1］设 f(x)、g(x)在区间［a，b］上均连续，证明(柯西—施瓦茨不等式).

分析 不等式右端是两个一元函数积分的乘积，形式貌似于二重积分，可借助于二重积分求解.

证 因为

例2［2］设 f(x)在［a，b］上连续，且 f(x)＞ 0，证明

分析 这个积分不等式的证明方法较多，例如可用柯西积分不等式(即例1)求证，还可用其他方法，也可利用二重积分.

例3［1］设f(x)为连续函数，证明

分析 因为等式右边是二重积分，可交换积分次序.

证 画出积分区域D如图1所示，可将D表示为D={(u，t)|0≤u≤x，u≤t≤x}，于是

图1 积分区域图

即原式成立.

分析 此题被积函数的原函数是难以直接求出的，我们不难发现被积函数比较特殊，可把arctg(πx)－arctg(x)用牛顿—莱布尼兹公式逆向求出积分，再用二重积分求出原函数.

例5［3］计算狄里克雷(Dirichet)积分

分析 此题解法较多，大多是用复变函数及级数等知识求解，这里我们借助于广义二重积分求……