刘玉凤

（山东工商学院 数学与信息科学学院，山东 烟台264005）

利用置换子群的性质研究群的结构是群论研究者感兴趣的课题之一。早在1939年，文 [1]就证明了有限群的每个置换子群都是次正规的。1962年，文 [2]证明了对有限群G的每个置换子群H，H/HG，是幂零群。随后文 [3－4]证明了π－拟正规子群和置换子群有类似的性质。2005年，文 [5]给出了有限群的c－置换与完全c－置换子群的概念，研究了其性质，获得了一系列结果。本文利用完全c－置换子群的概念，探讨了极小子群的超中心性对群结构的影响。

文中用p，q，r…表示素数，π表示素数的某个集合。π（G）表示G的阶｜G｜的所有素因数的集合；N◁G表示N是G的正规子群；H≤G表示H是G的子群；｜G∶H｜表示H在G的指数。Zμ（G）表示群G的超可解超中心。

文中所有群为有限群，所引用的概念和术语是标准的。未交代的可参见文 [6]。

1 基本概念和引理

定义1 设T，H是群G的子群。那么

（1）H和T称为在G中c－置换，如果对于某些x∈G，有HTx＝TxH。

（2）H称为在G中c－置换，如果H和G的所有子群c－置换。

定义2 设T，H是群G的子群。那么

（1）H和T称为在G中完全c－置换，如果H和T在＜H，T＞中c－置换。

（2）H称为在G中完全c－置换，如果对G的每个子群K，H和K在＜H，K＞中c－置换。

为了证明本文的主要结果，需要下列引理：

引理1[5]设G是群，K◁G，H≤G。那么下列结论成立：

1）如果H和T在G中完全c－置换，且K≤T≤G，则KH/K和T/K在G/K中完全c－置换。

2）如果K≤H，T≤G且H/K和KT/K在G/K中完全c－置换，则H和T在G中完全c－置换。

3）如果T≤M≤G，H≤M且H和T在G中完全c－置换，则H和T在M中完全c－置换。

引理2[6]设χ是子群闭的局部群系，H是G的子群，则H∩Zx（G）⊆Zx（H）。

引理3[6]设G为极小非超可解群，P＝Gμ。那么下列断言正确：

1）P是群G的Sylowp－子群，对于某一素数p；

2）如果S是P在G中的补，那么S/S∩Φ（G）或是准素循环群或是极小非交换群。……