万优艳

（江汉大学 数学与计算机科学学院，湖北 武汉 430056）

一类临界指数增长的椭圆型方程组正解的存在性

万优艳

（江汉大学 数学与计算机科学学院，湖北 武汉 430056）

研究了一类临界指数增长的椭圆型方程组。通过变分法，得到方程组的能量泛函在零点附近的局部极小值点的存在性，且该极小值点为方程组的正解。证明了当方程组的扰动项趋于零时，方程组的正解也趋于零。

临界指数；椭圆型方程组；正解

0 引言

考虑下列临界指数增长的椭圆型方程组：

其中Ω是RN（N=3）中光滑有界区域，α＞2，β＞且f（x），g（x）满足：（A1）f（x），g（x）∈H-1（Ω），且f（x）≥0，g（x）≥0。

由文献[1］可知，当Ω是RN中的有界星形区域时，带临界指数增长的椭圆型方程

是无解的。但当方程（2）中出现位势和扰动项且当位势和扰动项满足一定条件时，方程（2）存在解[2］。Adachi和Tanaka[3］证明了RN中次临界方程当出现扰动项且扰动项满足一定条件时正解的存在性。Benci和Cerami[4］研究得到RN中临界方程出现位势且位势满足一定条件时正解的存在性。

对于方程组（1），Alves等[5］研究得到：当Ω是RN中的有界星形区域且方程组（1）的位势与扰动项f（x）和g（x）都为零时，方程组（1）无解。

受单个方程（2）研究结果的启发，本文讨论当位势为常数1且扰动项满足条件（A1）时，方程组（1）正解的存在性。

1 预备知识

记E为Sobolev空间该空间的范数定义为

记＜·，·＞E为该空间的内积。记E*为E的对偶空间H-1（Ω）×H-1（Ω）。 令

根据文献[5］中的定理5，有

定义泛函I（u，v）：E→R，

引理1 假设（f（x），g（x））∈E*，那么

（i）I（u，v）∈C2（E，R），并且任给（φ，φ）∈E，有

（ii）如果f（x）和g（x）都是非负函数，（u，v）∈E是I（u，v）的一个临界点，那么（u，v）是方程组（1）的一个非负解。此外，如果u（x）≢0，v（x）≢0或者f（x）≢0，g（x）≢0，那么（u，v）是方程组（1）的一个正解。……