危合文

（江汉大学 数学与计算机科学学院，湖北 武汉 430056）

涉及例外函数的亚纯函数的正规定则

危合文

（江汉大学 数学与计算机科学学院，湖北 武汉 430056）

应用正规族理论及Zalcman引理，得到涉及例外函数的亚纯函数的一个正规定则，改进了已有的一些结果。

亚纯函数；正规族；例外函数

1 预备知识

设f为复平面上的非常数亚纯函数，文中利用值分布论中的标准记号，术语T（r，f）、N（r，f）、S（r，f）及相关不等式和性质参见文献[1-2］。

定义1[3］设D为复平面上的一个区域，F是定义在D上的一个亚纯函数族，对于任意序列｛fn（z）｝⊆F，都存在一个子列｛fnj（z）｝，在D上依球面距离内闭一致收敛于一个亚纯函数或∞，则称F在D上正规。

定义2[3］设F是定义在区域D上的一个亚纯函数，如果存在z0的一个邻域U（z0），使得F在U（z0）内正规，则称F在z0正规。

定理A［4］F是定义在区域D上的一个亚纯函数族，n≥2，a≠0，b为有限复数。若对于任意f∈F，f≠b，且满足在D内f+a（f′）n≠b，则F在D内正规。

定理B［5］F是定义在区域D上的一个亚纯函数族，k为正整数，a≠0，b为复数，若对任意f∈F，f的零点重级至少为2，n≥2，且满足在D内f+a（f′）n≠b，则F在D内正规。

本文将定理B中的条件“f+a（f′）n≠b”换成“f+a（f′）n≠b（z）”，改进了定理B，得到涉及例外函数的一个正规定则。

引理1［6］设F为单位圆盘Δ上的一族亚纯函数，对于每一个f∈F，f的零点的重数至少为k。存在一个数A≥1，使得f∈F且f=0时，如果F在单位圆盘Δ上不正规，则对0≤α≤k，存在

1）一个数r∈（0，1）；

3）函数序列fn∈F；

4）正数序列ρn→0+，

使得gn（ζ）=ρn-αfn（zn+ρnζ）关于球面距离内闭一致收敛到复平面C上的一个非常数亚纯函数g（ζ），且满足g#（ζ）≤g#（0）=kA+1。

引理2［7］设f是一个超越亚纯函数，f的零点重级≥k+1，a≠0，b是一个有穷复数，n≥k+1，f+a（f（k））n取值b无穷多次。……