郑 娟

(枣庄学院数学与统计学院，山东枣庄277160)

0 引言

下面形式的一阶微分方程初值问题

在天体力学、化学物理学、电子学等不同的领域內广泛出现，很多情况下其解具有一定的周期性．如果能对解的主导频率有较准确的估计，常采用变系数方法求这类问题的数值解，三角拟合[1]是其中常用的方法．Vanden Berghe及Simos[2，3]等人对三角拟合Runge－kutta方法作了深入的研究．本文在线性多步法中预估校正方法基础上，利用三角拟合技术，得出了一个新的三角拟合预估校正方法，数值试验表明，新方法在求解周期初值问题时具有明显的高效性．

1 三角拟合预估校正方法

对于的数值求解，考虑下面的预估校正格式[4]

令式(2)的预估格式精确积分{1，x，cos(ωx)，sin(ωx)}的线性组合，得如下方程组

令式(2)中校正格式精确积分{1，x，x2，cos(ωx)，sin(ωx)}的线性组合，得

分别解线性方程组(3)与(4)可求得b0，b1，b2与c0，c1，c2，c3．当 u 较小时，应使用它们的泰勒展开式

由式(5)确定的三角拟合预估校正格式(2)记为ADM4PCF1N，由式(5)，当 ω→ 0时，新方法ADM4PCF1N将变为原始的预估校正方法[4]．

图1 原始四阶预估校正方法的稳定性区域

图2 三角拟合四阶预估校正方法分别当u=1，u=8时的稳定性区域

计算y(xn+1)－yn+1可得局部截断误差

故其代数阶为 4．由式(6)，当 y为{cos(ωx)，sin(ωx)}的线性组合时，局部截断误差将消减为0，这也说明新方法ADM4PCF1N可对{cos(ωx)，sin(ωx)}的线性组合精确积分．

2 稳定性分析

将预估校正格式(2)应用到试验方程:

得差分方程

其中H=λh

式(8)的特征方程为

图3 数值实验3．1

图4 数值实验3．2

图5 数值实验3．3

解关于H的方程(9)，用边界轨迹法[5]画出θ∈[0，2π]时的绝对稳定区……