张洪彦， 王 奇， 丁敏敏， 王志杰

(安徽大学数学科学学院，安徽合肥230039)

0 引言

中立型泛函微分方程有着广泛的应用背景，人们对其周期解和概周期已有了深入的研究，例如文献[1－4]，在文献[4]中作者利用指数二分法和不动点定理给出了一类高维滞后型泛函微分方程

x(t)=A(t，x(t))x(t)+f(t，xt)

周期解的存在性，同时在文献[3]中作者利用指数二分法讨论了方程+G(t，x(t)，x(t－g(t)))的概周期解的存在性．

随着生产和社会的发展，反周期现象逐渐引起人们的关注，反周期在生物学，医学和各种物理工程现象中得到广泛的应用，因此许多学者对反周期解的存在性给予了大量研究，并得到一些结果，参见文献［5－9］．然而对中立型泛函微分方程反周期解问题的讨论甚少，本文讨论下面一类具有无穷时滞中立型泛函微分方程反周期解的存在性．其中x∈n，t∈．定义是n×n周期连续函数矩阵，函数G和Q是从n×n到n的反周期连续函数矩阵，且

A(t+T)=A(t)，

G(t+T，－u，－v)=－G(t，u，v)，

g(t+T)=g(t)，

Q(t+T，－x，－y)=－Q(t，x，y)，

u，v，x，y∈n．本文利用指数二分法和压缩定理，证明了本方程反周期解的存在性．

2 准备知识

定义1 若u(t+T)=－u(t)，称连续函数u(t): → 是T反周期的．

显然当u(t+T)=－u(t)时，则u(t+2T)=u(t)．

定义范数

记PTA(，X)={u(t)|u为 → 的连续函数，u(t+T)=－u(t)}

则(PTA(，X)，‖·‖)为一Banach空间．

首先考虑线性系统

和

其中A(t)=(αij(t))n×n是 上的n维连续函数矩阵，f(t)是 上的n维连续向量函且A(t+T)=A(t)，f(t+T)=－f(t)．

对于A(t)=(αij(t))n×n，我们假设下面两个条件[7]:

(H1) 假设存在正可微函数d1(t)，d2(t)，

…，dn(t)(C1≤di≤C2，C1，C2为正的常数)以及连续的T周期函数α(t)，使得:

≤ α(t)dj(t)，j=1，2，…，n

引理1[10]设X(t)是系统(2)的一个基解矩阵，如果存在一个映射P和正常数α，β使得:则称系统(2)具有指数二分性．

引理2[4]对于方程(2)，A(t)若满足(H1)则

‖X(t)X－1(s)‖

若A(t)满足(H2)，则‖X(t)X－1(s)

其中X(t)为方程(2)的基解……