焦灵侠，任海波，郭 敏

（1.西安工业大学北方信息工程学院 陕西 西安 710032；2.西北机电工程研究所 陕西 咸阳 712099；3.榆林学院 能源工程学院，陕西 榆林 719000）

倒立摆是一种典型的高阶非线性、多变量、强耦合、绝对不稳定的实验装置，它具有结构简单、成本低廉、易于调整等特点，作为这样一个被控对象，只有有效的控制策略才能够使其稳定，同时它也是检验各种控制理论的实验平台。倒立摆系统涉及控制理论、计算机控制、机器人技术等多个领域，并且结合了多种技术，因此可以看作是典型的被控对象供科研人员研究。倒立摆系统被广泛应用于双足机器人行走及火箭稳定发射及飞行方面，对于多级倒立摆和复杂结构的倒立摆进行控制更是近年来各科学领域不断研究，创新的问题之一，所以对于倒立摆系统的研究具有深远的意义[1]。

1 二级倒立摆系统数学模型的建立

在忽略了空气阻力和各种摩擦，并认为摆杆为刚体。二级倒立摆示意图如图1所示。

利用拉格朗日方程推导运动学方程：

拉格朗日方程为：L（q，q˙）=T（q，q˙）-V（q，q˙）

其中L为拉格朗日算子，q为系统的广义坐标，T为系统的动能，V为系统的势能，i=1，2，3…n，fi为系统在第i个广义坐标上的外力。系统的广义坐标有3个，分别为x，θ1，θ2。系统的动能：

图1 二级倒立摆示意图Fig.1 Two-stage pendulum schematic diagram

表1 倒立摆参数定义Tab.1 Parameter defines of the inverted pendulum

其中 TM，Tm1，Tm2，Tm3分别为小车的动能， 摆杆 1 的动能，摆杆2的动能和质量块的动能。

系统的动能为：

系统的势能为：

系统在θ1，θ2广义坐标下没有外力作用，所以有：

将其在平衡位置……