谢 东

(亳州师范高等专科学校理化系，安徽亳州236800)

生物种群系统的持续生存和正周期解的存在性都是重要的研究课题，历来受到学术界关注，许多学者已经进行了深入研究，并取得了许多结果[1－5]．本文研究具无穷时滞、收获率和非单调功能性反应函数的比率依赖捕食－食饵系统．

其中 a(t)，b(t)，c(t)，d(t)，e(t)，h(t)，τ(t)是非负连续的 ω周期函数，m是一个正常数，K(s):+→+是可测的ω周期函数且满足正规化假设，即有

本文利用重合度理论研究系统(1)的多重周期正解存在性，得出了对系统(1)的多重周期正解存在性是与食饵种群的收获率有关的新结果．

1 准备知识

有关重合度理论及延拓引理请参考文献[6]．

引理1．1[6]设L是指标为零的Fredholm映射且Ω为X中的有界开集，N在上是L－紧的．假设

(1)对任意的λ∈(0，1)，方程Lx=λNx的解满足 x ∉ ∂Ω(这里 ∂Ω =Ω);

(2)对任意的x∈∂Ω∩Ker L，QNx≠0;(3)Brouwer度deg{JQN，Ω∩Ker L，0}≠0，这里的J，Q如上定义;

引理1．2[5]若f(t)是一连续的 ω － 周期函数，那么

为了方便叙述，再引入下面记号:

不难证明q－＜l－＜l+＜q+，w－＜v－＜v+＜w+和

2 正周期解存在性

定理2．1 在系统(1)中，若系数函数满足

则系统(1)至少存在四个ω－周期正解．

证明: 作变换

则系统(1)可化为

作变量替换

则系统(3)可化为

为方便起见，在以下证明中记

令 X=Z={u=(u1，u2)T∈ C( ，2):ui(t+ ω)=ui(t)，i=1，2，}，并令，u1(t)|，|u2(t)|}，则X，Z在范数‖·‖下是一个Banach空间．现定义线性算子L:Dom L⊂X→Z如下:Lu=u'，(∀u∈Dom L⊂X);又定义算子N:X → Z 如下:Nu=(A1(t，u(t))，A2(t，u(t)))T，(∀u=(u1，u2)T∈X);又定义投影算子P:X→X及Q:Z→Z如下:易见Ker L={u∈X:u=h∈2}，Im L={z∈为 Z 中的闭子集，且dim Ker L=n=co dim Im l，故L是指标为零的Fredholm映射．P，Q是连续投影且使得Im P=Ker L，Im L=Ker Q=Im(I－Q)，X=Ker L⊕ Ker P，Z=Im L ⊕ Im Q．记 Lp=ΔL|Doml∩KerP，则 LP:Dom L∩Ker P→Im L是到上的一一映射．因此L的广义逆映射KP:Im L;→Dom L∩Ker P存在，且

由于

所以

其中

利用Lebesgue收敛定理可以证明QN和KP(I－Q)N是连续的，又利用Arzela－Ascoli定理可以证明，对X中的任意开子集Ω，QN()及KP(IQ)N)分别……